Groupes fondamentaux des variétés de dimension $3$ et algèbres d’opérateurs

de la Harpe, Pierre; Préaux, Jean-Philippe

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 16 (2007) no. 3, pp. 561-589.

Nous proposons une caractérisation géométrique des variétés de dimension $3$ ayant des groupes fondamentaux dont toutes les classes de conjugaison autres que $\left\{1\right\}$ sont infinies, c’est-à-dire dont les algèbres de von Neumann sont des facteurs de type $I{I}_1$  : ce sont essentiellement les $3$-variétés à groupes fondamentaux infinis qui n’admettent pas de fibration de Seifert. Autrement dit et plus précisément, soient $M$ une $3$-variété connexe compacte et $\Gamma$ son groupe fondamental, qu’on suppose être infini et avec au moins une classe de conjugaison finie autre que $\left\{1\right\}$. Si $M$ est orientable, alors $\Gamma$ est groupe fondamental d’une variété de Seifert  ; si $M$ est non orientable, alors $\Gamma$ est groupe fondamental d’une variété de Seifert modulo $\mathbb{P}$ au sens de Heil et Whitten [HeWh-94].

Nous faisons un usage intensif de résultats concernant les $3$-variétés, autant classiques (comme on les trouve dans les livres de Hempel, Jaco et Shalen) que plus récents (solution de la conjecture des fibrés de Seifert).

We provide a geometric characterization of manifolds of dimension $3$ with fundamental groups of which all conjugacy classes except $\left\{1\right\}$ are infinite, namely of which the von Neumann algebras are factors of type $I{I}_1$: they are essentially the $3$-manifolds with infinite fundamental groups on which there does not exist any Seifert fibration.

Otherwise said and more precisely, let $M$ be a compact connected $3$-manifold and let $\Gamma$ be its fundamental group, supposed to be infinite and with at least one finite conjugacy class besides $\left\{1\right\}$. If $M$ is orientable, then $\Gamma$ is the fundamental group of a Seifert manifold; if $M$ is not orientable, then $\Gamma$ is the fundamental group of a Seifert manifold modulo $\mathbb{P}$ in the sense of Heil and Whitten [HeWh-94].

We make heavy use of results on $3$-manifolds, as well classical results (as can be found in the books of Hempel, Jaco, and Shalen), as more recent ones (solution of the Seifert fibred space conjecture).

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