An example of local analytic q-difference equation : Analytic classification

Menous, Frédéric

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 15 (2006) no. 4, pp. 773-814.

En utilisant les techniques développées par Jean Ecalle pour l’étude des équations différentielles nonlinéaires, on montre que l’équation aux $q$-différences

$$x{\sigma }_{q}y=y+b(y,x)$$

avec $\left({\sigma }_{q}f\right)\left(x\right)=f\left(qx\right)$ ($q>1$) et $b(0,0)={\partial }_{y}b(0,0)=0$ est conjuguée analytiquement à l’une des équations suivantes :

$$x{\sigma }_{q}y=y\text{ou}x{\sigma }_{q}y=y+x$$

Using the techniques developed by Jean Ecalle for the study of nonlinear differential equations, we prove that the $q$-difference equation

$$x{\sigma }_{q}y=y+b(y,x)$$

with $\left({\sigma }_{q}f\right)\left(x\right)=f\left(qx\right)$ ($q>1$) and $b(0,0)={\partial }_{y}b(0,0)=0$ is analytically conjugated to one of the following equations :

$$x{\sigma }_{q}y=y\text{ou}x{\sigma }_{q}y=y+x$$

[1] (J.), Ecalle Singularité non abordables par la géométrie, Annales de l’Institut Fourier, Volume 42 (1992), pp. 73-164 | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[2] (F.), Menous An example of nonlinear $s$-difference equation, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse (2004) To appear in a special issue on the proceedings of the congress : Resurgence, Alien Calculus, Resummability, Transseries (CIRM, november 2002) | EuDML | Numdam | Zbl

[3] (C.), Zhang Développements asymptotiques $q$-gevrey et séries $Gq$-sommables, Annales de l’Institut Fourier, Volume 49 (1999), pp. 227-261 | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[4] (C.), Zhang; (F.), Marotte Multisommabilité des séries entières solutions formelles d’une équation aux $q$-)différences linéaire analytique, Annales de l’Institut Fourier, Volume 50 (2000) no. 6, pp. 1859-1890 | EuDML | Numdam | MR | Zbl