Le spectre des longueurs des surfaces hyperboliques : un exemple de rigidité.

Philippe, Emmanuel

Séminaire de théorie spectrale et géométrie, Tome 28 (2009-2010), pp. 109-120.

Après avoir présenté quelques résultats récents portant sur l’étude du spectre des longueurs des surfaces hyperboliques avec ou sans singularités, on démontre que les sphères possédant trois points coniques sont, dans leur classe, spectralement rigides.

Having presented some recent results concerning the lentgh spectra of hyperbolic surfaces, we give a proof of the fact that spheres with three conical points are, in their class, spectrally rigid.

Classification : 20H10, 32G15, 53C22
Mot clés : spectre des longueurs, surfaces hyperboliques, groupe de triangle
Mots clés : length spectra, hyperbolic surfaces, triangular group

[1] H. Akrout. Un processus effectif de détermination des systoles pour les surfaces hyperboliques, Geom. Dedicata, 121, (2006), p.1-8. | MR | Zbl

[2] C. Bavard. L’aire systolique conforme des groupes cristallographiques du plan, Ann. Inst. Fourier, 43 no 3, (1993), p.815-842. | Numdam | MR | Zbl

[3] A.F. Beardon. The Geometry of Discrete Groups, Graduate Texts in Mathematics, 91, Springer-Verlag, 1983. | MR | Zbl

[4] M. Berger, P. Gauduchon, E. Mazet. Le spectre d’une variété riemanienne, Lectures Notes in Math., 194, Springer, 1971. | MR | Zbl

[5] R. Brooks, R. Tse. Isospectral surfaces of small genus, Nagoya Math. J., 107, (1987), p.13-24. | MR | Zbl

[6] P. Bérard. Transplantation et Isospectralité I, Sémin. Théor. Spectr. Géom., 9, (1990-1991), p.153-175. | Numdam | MR | Zbl

[7] P. Bérard. Transplantation et Isospectralité II, Sémin. Théor. Spectr. Géom., 9, (1990-1991), p.177-188. | Numdam | MR | Zbl

[8] P. Bérard. Variétés riemaniennes isospectrales non isométriques, Sémin. N. Bourbaki, 705, (1988-1989), p.127-154. | Numdam | MR | Zbl

[9] P. Buser. Geometry and Spectra of Compact Riemann Surfaces, Progress in Mathematics, 106, Birkhäuser, 1992. | MR | Zbl

[10] P. Buser, K.-D. Semmler. The geometry and spectrum of the one holed torus, Comment. Math. Helv., 63, (1988), p.259-274. | MR | Zbl

[11] Y. Colin de Verdière, Spectre du laplacien et longueurs des géodésiques fermées, Compositio Math., 27, (1973), p. 83-106, p. 159-184. | Numdam | Zbl

[12] F. Dal’Bo. Trajectoires géodésiques et horocycliques, Savoirs Actuels, CNRS Editions, 2007.

[13] R. Dianu. Sur le spectre des tores pointés, Thèse, EPFL, Lausanne, 2000.

[14] E. Dryden. Geometric and Spectral Properties of Compact Riemann Orbisurfaces, Ph.D. Thesis, Dartmouth College, 2004. | MR

[15] E. Dryden, A. Strohmaïer. Huber’s theorem for hyperbolic orbisurfaces, Canad. Math. Bull., 52, (2009), p.66-71. | MR | Zbl

[16] V. Guillemin, D. Kazhdan, Some inverse spectral results for negatively curved 2-manifolds, Topology, 19, (1980), p.301-312. | MR | Zbl

[17] A. Haas. Length spectra as moduli for hyperbolics surfaces, Duke Math. J., 5, (1985), p.922-935. | MR | Zbl

[18] U. Hamenstädt, R. Koch . Systoles of a family of triangles surfaces, Experimental Math., 11 no 2, (2002), p.249-270. | MR | Zbl

[19] M. Kac. Can One Hear the Shape of a Drum ?, The American Mathematical Monthly, 73 no 4, Part 2 : Papers in Analysis (Apr. 1966), p.1-23. | MR | Zbl

[20] H. Iwaniec. Spectral Methods of Automorphic Forms, Graduate Studies in Mathematics, 53, AMS, 2002. | MR | Zbl

[21] W. Müller. Spectral geometry and scattering theory for certain complete surfaces of finite volume, Inventiones Math., 109, (1992), p.265-305. | MR | Zbl

[22] J-P. Otal, Le spectre marqué des longueurs des surfaces à courbure négative, Ann. of Math., 131, (1990), p.151-162. | MR | Zbl

[23] H. Pesce, Une réciproque générique du théorème de Sunada, Compositio Math., 109, (1997), p.357-365. | MR | Zbl

[24] E. Philippe. Géométrie des surfaces hyperboliques, Thèse, Université Paul Sabatier, Toulouse, 2008. [http ://thesesups.ups-tlse.fr/270/]

[25] E. Philippe. Les groupes de triangles $(2,p,q)$ sont déterminés par leur spectre des longueurs,  Ann. Inst. Fourier, 58 no 7, (2008), p.2659-2693. [http ://arxiv.org/abs/0807.4746] | Numdam | MR | Zbl

[26] E. Philippe. Sur le spectre des longueurs des groupes de triangles $(r,p,q)$. [http ://arxiv.org/abs/0901.4630]

[27] E. Philippe. Sur la rigidité des groupes de triangles $(r,p,q)$, Geom. Dedicat., 149, (2010), p. 155-160. [http ://simplementconnexe.free.fr/] | MR

[28] A.W. Reid, C. Maclachlan. The Arithmetic of hyperbolic 3-manifolds, Graduate Texts in Mathematics,  219, Springer-Verlag, 2003. | MR | Zbl

[29] A.W. Reid. Isospectrality and commensurability of arithmetic hyperbolic 2- and 3-manifolds, Duke Math. J., 65, (1992), p.215-228. | MR | Zbl

[30] B. Osgood, R. Phillips, P. Sarnak, Compact Isospectral Sets of Surfaces, J. Funct. Anal., 80, (1988), p.212-234. | MR | Zbl

[31] T. Sunada. Riemannian coverings and isospectral manifolds, Ann. of Math., 121, (1985), p.169-186. | MR | Zbl

[32] M-F. Vignéras. Variétés riemaniennes isospectrales et non isométriques, Ann. of Math., 112, (1980), p.21-32. | MR | Zbl

[33] M-F. Vignéras. Arithmétique des algèbres de quaternions, Lecture notes in Math., 800, Springer, 1980. | MR | Zbl

[34] R. Vogeler. On the geometry of Hurwitz surfaces, Thesis, Univ. Florida, 2003. | MR

[35] S.A. Wolpert. The length spectra as moduli for compact Riemann surfaces, Ann. of Math., 109, (1979), p.323-351. | MR | Zbl