On the structure of the Galois group of the Abelian closure of a number field

Gras, Georges

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 26 (2014) no. 3, pp. 635-654.

A partir d’un article de A. Angelakis et P. Stevenhagen sur la détermination d’une famille de corps quadratiques imaginaires $K$ ayant des groupes de Galois Abéliens absolus $A_K$ isomorphes, nous étudions une telle question pour les corps de nombres $K$ quelconques. Nous montrons que ce type de propriété n’est probablement pas facilement généralisable, en dehors des corps quadratiques imaginaires, en raison d’obstructions $p$-adiques provenant des unités globales de $K$. En se restreignant aux $p$-sous-groupes de Sylow de $A_K$ et en admettant la conjecture de Leopoldt nous montrons que l’étude correspondante est liée à une généralisation de la notion classique de corps $p$-rationnel que nous approfondissons, y compris au point de vue numérique pour les corps quadratiques.

Cependant nous obtenons (Théorèmes 2.1 et 3.1) des informations non triviales sur la structure de $A_K$, pour tout corps de nombres $K$, par application de résultats de notre livre sur la théorie $p$-adique du corps de classes global.

From a paper by A. Angelakis and P. Stevenhagen on the determination of a family of imaginary quadratic fields $K$ having isomorphic absolute Abelian Galois groups $A_K$, we study any such issue for arbitrary number fields $K$. We show that this kind of property is probably not easily generalizable, apart from imaginary quadratic fields, because of some $p$-adic obstructions coming from the global units of $K$. By restriction to the $p$-Sylow subgroups of $A_K$ and assuming the Leopoldt conjecture we show that the corresponding study is related to a generalization of the classical notion of $p$-rational field that we deepen, including numerical viewpoint for quadratic fields.

However we obtain (Theorems 2.1 and 3.1) non-trivial information about the structure of $A_K$, for any number field $K$, by application of results of our book on the $p$-adic global class field theory.

Classification : 11R37, 11R29, 20K35
Mots clés : Class field theory, Abelian closures of number fields, $p$-ramification, $p$-rational fields, Abelian profinite groups, Group extensions

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