Singularités éliminables pour des équations semi-linéaires

Baras, Pierre; Pierre, Michel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 34 (1984) no. 1, pp. 185-206.

Étant donné $L$ un opérateur différentiel d’ordre $m$ sur un ouvert $\Omega$ de ${\mathbf{R}}^N$, $K$ un compact de $\Omega$, $\gamma >1$ et ${\gamma }^{\prime }=\gamma /(\gamma -1)$, nous montrons que toute solution de “$Lu+u^{\gamma }=0$ sur $\Omega \setminus K,u\ge 0$” est solution de “$Lu+u^{\gamma }=0$ sur $\Omega$” dès que la $W^{m,{\gamma }^{\prime }}$-capacité de $K$ est nulle. Cette condition s’avère nécessaire quand $L$ est un opérateur elliptique d’ordre 2. Dans ce cas, nous montrons aussi que $``Lu+u|u{|}^{\gamma -1}=\mu ,u{|}_{\partial \Omega }=0^{\prime \prime }$ où $\mu$ est une mesure de Radon bornée sur $\Omega$, a une solution si et seulement si $\mu$ ne charge pas les ensembles de $W^{2,{\gamma }^{\prime }}$-capacité nulle.

Let $L$ be an $m^{th}$-order differential operator on an open subset $\Omega$ of ${\mathbf{R}}^N$, let $K$ be a compact in $\Omega$, $\gamma >1$ and ${\gamma }^{\prime }=\gamma /(\gamma -1)$. We show that every solution of “$Lu+u^{\gamma }=0$ on $\Omega \setminus K,u\ge 0$” satisfies “$Lu+u^{\gamma }=0$ on $\Omega$” when the $W^{m,{\gamma }^{\prime }}$-capacity of $K$ is zero. This condition turns out to be necessary when $L$ is a second-order elliptic operator. In the latter case, we also prove that, given $\mu$ a finite Radon measure on $\Omega$, the equation $``Lu+u|u{|}^{\gamma -1}=\mu ,u{|}_{\partial \Omega }=0^{\prime \prime }$ has a solution if and only if $\mu$ does not charge the sets of $W^{2,{\gamma }^{\prime }}$-capacity zero.

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