Sur le théorème des fonctions composées différentiables

Risler, Jean-Jacques

Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 2, pp. 229-260.

Soit $f:X\to Y$ un morphisme propre relativement algébrique entre espaces semi-analytiques. On montre que si ${𝒞}^{\infty }\left(Y\right)$ désigne l’anneau des fonctions de classe ${𝒞}^{\infty }$ sur $Y$, l’image par $f$ de ${𝒞}^{\infty }\left(Y\right)$ est fermée dans ${𝒞}^{\infty }\left(X\right)$ muni de sa topologie naturelle d’espace de Frechet ; ceci généralise un résultat précédent de J.-C. Tougeron (lui-même généralisant un résultat de Glaeser) qui traite du cas semi-algébrique. La méthode est tout à fait analogue et utilise des propriétés algébriques de l’anneau des fonctions Nash-analytiques introduit par Merrien, propriétés démontrées au début de l’article.

Let $f:X\to Y$ be a proper relatively algebraic morphism between semi-analytic spaces. If ${𝒞}^{\infty }\left(Y\right)$ is the ring of ${𝒞}^{\infty }$-class functions on $Y$, it is proved that the image of ${𝒞}^{\infty }\left(Y\right)$ by $f$ is closed in ${𝒞}^{\infty }\left(X\right)$ (with his natural topology of Frechet space); this result is a generalization of a recent one by Tougeron (which itself is a generalization of a result by Glaeser); in the Tougeron’s paper, the spaces were supposed semi-algebraic. The method of proof is very similar to the one to Tougeron, and use algebraic properties of the ring of Nash-analytic functions introduced by Merrien; these properties are studied in the beginning of the paper.

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