On the Martin compactification of a bounded Lipschitz domain in a riemannian manifold

Taylor, John C.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 28 (1978) no. 2, pp. 25-52.

Soit $D\subset {\mathbf{R}}^n$ un domaine borné à frontière lipschitzienne. On montre que $\overline{D}$ est le compactifié de Martin pour une classe assez étendue d’opérateurs uniformément elliptiques aux dérivées partielles d’ordre deux.

Soient $X$ une variété riemannienne ouverte et $M\subset X$ un domaine relativement compact à frontière lipschitzienne. On a alors que $\overline{M}$ est le compactifié de Martin défini par la restriction au domaine $D$ de l’opérateur de Laplace-Beltrami sur $X$. Par conséquent, à chaque variété riemannienne ouverte $X$ on peut associer au plus une variété riemannienne compact à bord dont $X$ est l’intérieur.

The Martin compactification of a bounded Lipschitz domain $D\subset {\mathbf{R}}^n$ is shown to be $\overline{D}$ for a large class of uniformly elliptic second order partial differential operators on $D$.

Let $X$ be an open Riemannian manifold and let $M\subset X$ be open relatively compact, connected, with Lipschitz boundary. Then $\overline{M}$ is the Martin compactification of $M$ associated with the restriction to $M$ of the Laplace-Beltrami operator on $X$. Consequently an open Riemannian manifold $X$ has at most one compactification which is a compact Riemannian manifold with boundary whose interior is $X$.

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