Classes d'idéaux des corps abéliens et nombres de Bernoulli généralisés

Gras, Georges

Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977) no. 1, pp. 1-66.

Pour $l$ premier impair, l’étude du $l$-groupe des classes d’idéaux des extensions abéliennes de degré premier à $l$ se ramène à celle de groupes notés ${\mathbf{H}}_{\phi }$, où $\phi$ parcourt un certain ensemble de caractères $l$-adiques irréductibles.

Il est démontré, dans cet article, une généralisation des congruences de Leopoldt et Fresnel entre les fonctions $L_{l}l$-adiques et les nombres de Bernoulli généralisés. Cette généralisation conduit à une amélioration de la connaissance des ${\mathbf{H}}_{\phi }$ : en effet, la juxtaposition de ce résultat avec les résultats classiques (formule analytique du nombre de classes, théorème de Stickelberger et “Spiegelungssatz” de Leopoldt) permet de déterminer, dans un certain nombre de cas particuliers, la structure de ${\mathbf{H}}_{\phi }$ et de vérifier, sous certaines hypothèses, l’existence d’un lien non trivial entre cette structure et certains invariants (calculables dans la pratique) définis uniquement à partir des formules analytiques du nombre de classes.

For an odd prime number $l$, the study of the $l$-class group of abelian extensions, the degree of which is prime to $l$, is equivalent to the study of groups ${\mathbf{H}}_{\phi }$, where $\phi$ ranges over a set of irreducible $l$-adic characters.

It is proved, in this paper, a generalisation of the Leopoldt and Fresnel’s congruences between $l$-adic $L_l$ $l$-functions and generalised Bernoulli numbers. This generalisation gives an improvement of the knowledge of the ${\mathbf{H}}_{\phi }$: the juxtaposition of this result with the classic ones (analytic class-number formula, Stickelberger’s theorem and “Spiegelungssatz” by Leopoldt) allows the determination, in some particular cases, of the structure of ${\mathbf{H}}_{\phi }$ and the proof, under some hypothesis, of the existence of a non trivial connexion between this structure and some invariants (calculable in the practise) which are defined uniquely with the help of the analytic class-number formula.

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