An inversion formula and a note on the Riesz kernel

Dunkels, Andrejs

Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 4, pp. 197-205.

Pour des potentiels $U_K^T=K*T$, où $K$ et $T$ sont certaines distributions de Schwartz, une formule d’inversion pour $T$ est établie. Des produits de convolution et des transformées de Fourier des distributions dans les espaces $\left({\mathbf{D}}_L^{\prime }p\right)$ sont utilisés. On démontre que la distribution d’équilibre par rapport au noyau de Riesz d’ordre $\alpha$, $0<\alpha <m$, d’un sous-ensemble compact $E$ de ${\mathbf{R}}^m$ a la propriété suivante : sa restriction à l’intérieur de $E$ est une mesure absolument continue avec densité analytique donnée par une formule explicite.

For potentials $U_K^T=K*T$, where $K$ and $T$ are certain Schwartz distributions, an inversion formula for $T$ is derived. Convolutions and Fourier transforms of distributions in $\left({\mathbf{D}}_L^{\prime }p\right)$-spaces are used. It is shown that the equilibrium distribution with respect to the Riesz kernel of order $\alpha$, $0<\alpha <m$, of a compact subset $E$ of ${\mathbf{R}}^m$ has the following property: its restriction to the interior of $E$ is an absolutely continuous measure with analytic density which is expressed by an explicit formula.

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