Familles d'opérateurs potentiels

Hirsch, Francis

Annales de l'Institut Fourier, Tome 25 (1975) no. 3-4, pp. 263-288.

Ce travail se compose de trois parties. Dans la première partie nous donnons quelques résultats sur les noyaux-mesure de Hunt sur ${\mathbf{R}}_{+}$. Nous caractérisons à ce propos les transformées de Laplace des fonctions logarithmiquement convexes et dé-crois-san-tes sur ${\mathbf{R}}_{+}$. Dans la deuxième partie, nous démontrons que, si $\mu$ est un noyau-mesure de Hunt sur ${\mathbf{R}}_{+}$ et si $(P_t{)}_{t\ge 0}$ est un semi-groupe à contraction dans un espace de Banach $X$ tel que son générateur infinitésimal soit d’image dense, alors l’opérateur $\int P_{t}d\mu \left(t\right)$ défini au sens d’Abel (c’est-à-dire de domaine $\left\{x;{lim}_{\lambda \to 0}\int e^{-\lambda t}{P}_{t}xd\mu \left(t\right)\text{existe}\right\}$, et défini par cette limite sur son domaine) est un potentiel abstrait sur $X$. Les résultats des parties 2 et 3 sont en relation avec des considérations de calcul symbolique que nous explicitons.

This paper has three parts. In the first we give some results concerning the Hunt measure-kernels on ${\mathbf{R}}_{+}$. For that purpose, we characterize the Laplace transforms of the monotone decreasing logarithmically convex functions on ${\mathbf{R}}_{+}$. In the second part, we prove that if $\mu$ is a Hunt measure-kernel on ${\mathbf{R}}_{+}$, and if $(P_t{)}_{t\ge 0}$ is an integrable Feller semi-group on a locally compact space $\Omega$, $\int P_{t}d\mu \left(t\right)$ defines a Hunt kernel on $\Omega$. Finally, in the last part, we show that if $\mu$ is an abstract measure-potential on ${\mathbf{R}}_{+}$, of the form $\nu +g\left(t\right)dt$, where $\nu$ is a totally bounded measure on ${\mathbf{R}}_{+}$ and $g$ a function of bounded variation on ${\mathbf{R}}_{+}$, and if $(P_t{)}_{t\ge 0}$ is a contraction semi-group on a Banach space $X$ such that its infinitesimal generator has dense range, then the operator $\int P_{t}d\mu \left(t\right)$ defined in the sense of Abel (i.e. with domain ${\displaystyle \left\{x;\underset{\lambda \to 0}{lim}\int e^{-\lambda t}{P}_{t}xd\mu \left(t\right)\text{exists}\right\}}$, and with that limit on preceding domain) is an abstract potential on $X$. The results of parts 2 and 3 are related with aspects of operational calculus which we discuss in detail.

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