On vector measures

Constantinescu, Corneliu

Annales de l'Institut Fourier, Tome 25 (1975) no. 3-4, pp. 139-161.

Soit $ℳ$ l’espace de Banach des mesures réelles sur une tribu $\mathbf{R}$, ${ℳ}^{\prime }$ son dual, $E$ un espace localement convexe quasi-complet, $E^{\prime }$ son dual et $\mu$ une mesure sur $\mathbf{R}$ à valeurs dans $E$. On démontre que pour chaque $\theta \in {ℳ}^{\prime }$ il existe un élément $\int \theta d\mu \in E$ tel que $\langle x^{\prime }\circ \mu ,\theta \rangle =〈\int \theta d\mu ,x^{\prime }〉$ pour tout $x^{\prime }\in E^{\prime }$. Si $({\theta }_i{)}_{i\in I}$ est une famille filtrante décroissante dans ${ℳ}^{\prime }$, dont l’infimum est 0, alors le filtre des sections de $\left\{\int {\theta }_{i}d\mu \mid i\in I\right\}$ converge vers 0.

Let $ℳ$ be the Banach space of real measures on a $\sigma$-ring $\mathbf{R}$, let ${ℳ}^{\prime }$ be its dual, let $E$ be a quasi-complete locally convex space, let $E^{\prime }$ be its dual, and let $\mu$ be an $E$-valued measure on $\mathbf{R}$. If is shown that for any $\theta \in {ℳ}^{\prime }$ there exists an element $\int \theta d\mu$ of $E$ such that $\langle x^{\prime }\circ \mu ,\theta \rangle =〈\int \theta d\mu ,x^{\prime }〉$ for any $x^{\prime }\in E^{\prime }$ and that the map

$$\theta \to \int \theta d\mu :{ℳ}^{\prime }\to E$$

is order continuous. It follows that the closed convex hull of $\mu \left(\mathbf{R}\right)$ is weakly compact.

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