L'intégration par rapport à une mesure de Radon vectorielle

Thomas, Erik

Annales de l'Institut Fourier, Tome 20 (1970) no. 2, pp. 55-191.

Cet article concerne une méthode nouvelle de prolongement d’une mesure de Radon $\mu :\mathbf{H}\left(T\right)\to E$, à un espace de fonctions scalaires ${\mathbf{L}}^1\left(\mu \right)$, et l’étude détaillée de ce prolongement. L’outil essentiel est la “semi-variation” associée à $\mu$ dans le cas où $E$ est un espace normé, une notion qui a son origine à la fois dans la semi-variation ensembliste de Bartle, Dunford et Schwartz (Canad. J. of Math., t. 7 (1955), 289-305), (New York, London, Interscience Publishers, 1958), et dans l’intégrale supérieure essentielle de Bourbaki (2e édition, 5, 6. Paris, Hermann, 1956, 1965) dont la “semi-variation” est une généralisation. On examine les conditions de validité des théorèmes de convergence usuels et l’on caractérise les espaces $E$ tels que ces conditions sont vérifiées pour une mesure de Radon $\mu :\mathbf{H}\left(T\right)\to E$ arbitraire. Le théorème d’Orlicz et des généralisations nouvelles de ce théorème sont appliqués pour obtenir des caractérisations de ${\mathbf{L}}^1\left(\mu \right)$ en termes de fonctions scalairement $\mu$-intégrales. On caractérise les espaces $E$ pour lesquels toute fonction scalairement $\mu$-intégrable est $\mu$-intégrable, établissant ainsi un lien entre (R.G. Bartle, N. Dunford and J. Schwartz, Canad. J. of Math., t. 7 (1955), 289-305) et (Nicolas Bourbaki, 2e édition, 5, 6. Paris, Hermann, 1956, 1965). Application est faite à l’étude des bi-mesures ce qui permet d’améliorer certains résultats de Morse et Transue (Annals of Mathematics, vol. 64, no 3 (1956)). On considère l’intégration de fonctions vectorielles par rapport à une mesure de Radon vectorielle et l’on aborde l’étude du produit tensoriel de deux mesures vectorielles.

This article concerns a new method of extension of a Radon measure $\mu :\mathbf{H}\left(T\right)\to E$, to a space of scalar functions ${\mathbf{L}}^1\left(\mu \right)$, and the detailed study of this extension. The essential tool is the “semi-variation” of $\mu$ in the case where $E$ is a normed space, a concept that has it’s origin in the set theoretic semi-variation of Bartle, Dunford and Schwartz (Canad. J. of Math., t. 7 (1955), 289-305), (New York, London, Interscience Publishers, 1958), as well as in the essential superior integral of Bourbaki (2e édition, 5, 6. Paris, Hermann, 1956, 1965) of which this “semi-variation” is a generalisation. Conditions for the validity of the usual convergence theorems are given and a characterisation is given of the spaces $E$ such that an arbitrary Radon measure $\mu :\mathbf{H}\left(T\right)\to E$ satisfies this condition . Orlicz theorem and new generalisations of it (Appendice II) are applied to obtain caracterisations of ${\mathbf{L}}^1\left(\mu \right)$ in terms of scalarly $\mu$-integrable functions. The spaces $E$ for which any scalarly $\mu$-integrable function is $\mu$-integrable are characterised , which establishes a connection between (R.G. Bartle, N. Dunford and J. Schwartz, Canad. J. of Math., t. 7 (1955), 289-305) and (Nicolas Bourbaki, 2e édition, 5, 6. Paris, Hermann, 1956, 1965). Application is made to the study of bi-measures leading to improvements of certain results of Morse and Transue (Annals of Mathematics, vol. 64, no 3 (1956)). The integration of vector-valued functions with respect to vector-valued measures is also considered, as well as the tensor product of two vector-valued measures.

[1] R. G. Bartle, N. Dunford and J. Schwartz, Weak compactness and vector measures, Canad. J. of Math., t. 7 (1955), 289-305. | MR | Zbl

[1 bis] C. Bessaga et A. Pelczynski, On bases and unconditional convergence of series in Banach spaces. Studia Mathematica T. XVII (1958). | MR | Zbl

[2] Nicolas Bourbaki, Intégration, Chapitres 1-4, 2e édition, 5, 6. Paris, Hermann, 1956, 1965.

[3] J. Deny, Les Potentiels d'Énergie finie, Acta Mathematica, 82 (1950), 107-183. | MR | Zbl

[4] J. Dieudonné, Sur la convergence de suites de Mesures de Radon Anais da Acad. Bras. Ciencias, 23 (1951) 81-115. | MR | Zbl

[5] N. Dinculeanu, Vector Measures (Pergamon Press). | Zbl

[6] N. Dunford, Uniformity in Linear Spaces, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 44 (1938), 305-356. | JFM | MR | Zbl

[7] N. Dunford and B. J. Pettis, Linear Operations on Summable Functions, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 47 (1940), 323-392. | JFM | MR | Zbl

[8] N. Dundord and J. Schwartz, Linear Operators. vol. I : General Theory. New York, London, Interscience Publishers, (1958). | Zbl

[9] G. Fox, Extension of a bounded vector measure with values in a reflexive Banach space, Bull. Canad. Math. 10, n° 4, (1967) 525-529. | MR | Zbl

[10] A. Grothendieck, Sur les applications linéaires faiblement compactes d'espaces du type C(K), Canad. J. of Math., t. 5, (1953), 129-173. | MR | Zbl

[11] W. Hackenbroch, Integration vektorwertiger Funktionen nach operatorwertigen Maben, Math. Zeitschr. 105, 327-344 (1968). | MR | Zbl

[12] M. Morse and W. Transue, C-Bimeasures and their integral extensions, Annals of Mathematics, vol. 64, n° 3 (1956). | MR | Zbl

[12 bis] A. Pelczynski, Projections in certain Banach spaces. Studia Mathematica T. XIX (1960). | MR | Zbl

[13] J. B. Pettis, On Integration in Vector Spaces. Trans. Amer. Math. Soc. vol. 44 (1938), 277-304. | JFM | MR | Zbl

[14] R. S. Phillips, On linear Transformations, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 48 (1940), 516-541. | JFM | MR | Zbl

[15] L. Schwartz, Sous-espaces Hilbertiens d'espaces vectoriels topologiques et Noyaux associés, Journal d'Analyse Mathématique, vol. XIII (1964).

[16] E. Thomas, L'intégration par rapport à une mesure de Radon vectorielle, Séminaire Choquet (Initiation à l'Analyse), 7e année, 1967-1968, n° B.10. | Numdam | Zbl