Topologies faciales dans les convexes compacts. Calcul fonctionnel et décomposition spectrale dans le centre d’un espace $A\left(X\right)$

Rogalski, Marc

Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972) no. 1, pp. 1-66.

Cet article étudie, sur l’ensemble $𝒮\left(X\right)$ des points extrémaux d’un convexe compact $X$, des topologies faciales dont les fermés sont les traces de faces $F$ “parallélisables” (il existe une plus grande face $F^{\prime }$ disjointe de $F$, et tout $x$ de $X$ s’écrit $x=\lambda y+(1-\lambda )y^{\prime },y\in F,y^{\prime }\in F^{\prime }$, avec $\lambda$ unique). Les topologies faciales uniformisables sont en bijection avec les sous-espaces réticulés fermés et contenant 1 de l’espace $A\left(X\right)$ des fonctions affines continues sur $X$. Ceci redonne des résultats classiques sur les simplexes, et permet une étude géométrique des sous-espaces réticulés de $A\left(X\right)$.

Toute fonction $f$ de $A\left(X\right)$ continue pour une topologie faciale admet un calcul fonctionnel utilisant une décomposition spectrale de $f$ ($\psi \left(f\right)=\int \psi \left(\lambda \right)d{e}_{\lambda }$ pour $\psi$ universellement mesurable sur le “spectre” de $f$). Toutes les notions classiques de théorie spectrale ont une interprétation géométrique sur le convexe compact $X$ ; en particulier, si $u$ est universellement mesurable sur $𝒮\left(X\right)$ pour la topologie faciale la moins fine rendant $f$ continue, elle possède un prolongement vérifiant le calcul barycentrique et “approchable” au moyen de $f$.

Enfin, une décomposition spectrale subsiste pour une fonction semi-continue inférieurement pour une topologie faciale, avec interprétation géométrique des notions de théorie spectrale.

In this paper, we study, on the set $𝒮\left(X\right)$ of the extremal points of a compact convex set $X$, facial topologies for which closed sets are the intersection with $𝒮\left(X\right)$ of “parallel” faces (there exists a greatest face $F^{\prime }$ disjoint of $F$, and, for every $x$ in $X$, $x=\lambda y+(1-\lambda )y^{\prime },y\in F,y^{\prime }\in F^{\prime }$, with $\lambda$ unique). There exists a bijection between the uniformizable facial topologies and the closed sub-lattices containing 1 of the space $A\left(X\right)$ of the affine continuous functions on $X$. This gives classical results on simplexes, and permits a geometrical study of the sub-lattices of $A\left(X\right)$.

Every function $f$ of $A\left(X\right)$ which is continuous for a facial topology has a functional calculus which uses a spectral decomposition of $f$ ($\psi \left(f\right)=\int \psi \left(\lambda \right)d{e}_{\lambda }$ for $\psi$ universally measurable on the “spectrum” of $f$). All the classical concepts of spectral theory have a geometrical interpretation on the compact convex set $X$; for example, if $u$ has an extension to $\left(X\right)$ which verifies the barycenter calculus, and is “approximable” by using the function $f$.

Such a spectral decomposition exists also for a lower semi-continuous function for a facial topology, with geometrical interpretation of the concepts of spectral theory.

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