La théorie des cônes biréticulés

Goullet De Rugy, Alain

Annales de l'Institut Fourier, Tome 21 (1971) no. 4, pp. 1-64.

Soient $𝒮$ la classe des cônes convexes saillants faiblement complets et ${𝒮}_{\mathrm{loc}}$ la sous-classe de $𝒮$ formée des cônes localement compacts de $𝒮$. Dans les dix dernières années, Alfsen, Bauer, Effros, Rogalski et Stormer ont donné de nombreuses propriétés équivalentes entre elles et qui caractérisent dans ${𝒮}_{\mathrm{loc}}$ les cônes de Radon ${𝔐}^{+}\left(T\right)$ des mesures de Radon positives sur un espace compact $T$. On montre ici que ces propriétés, convenablement interprétées, restent équivalentes dans la sous-classe ${𝒮}_{pbc}$ des cônes presque bien coiffés de $𝒮$, c’est-à-dire des cônes $X$ de $𝒮$, tels que tout élément non nul de $X$ majore un élément non nul de $X$ contenu dans un chapeau, et qu’elles définissent une classe remarquable de cônes, dits biréticulés. Leur étude détaillée fait l’objet des deux premiers chapitres. Au chapitre 3, on montre que les cônes biréticulés sont proches des cônes de Radon en ce sens que si $X$ est un cône biréticulé ayant une base, il existe une injection linéaire continue de $X$ sur une face partout dense d’un cône de Radon. On donne de nombreux exemples.

Let $𝒮$ be the class of the convex weakly complete cones and ${𝒮}_{\mathrm{loc}}$ the sub-class of the locally compact cones of $𝒮$. In the past ten years, Alfsen, Bauer, Effros, Rogalski and Stormer have given many equivalent properties which characterize in ${𝒮}_{\mathrm{loc}}$ the Radon cones ${𝔐}^{+}\left(T\right)$ of positive Radon measures on some compact space $T$. Here, we prove that these properties, suitably interpreted, are still equivalent in the sub-class ${𝒮}_{pbc}$ of the almost well capped cones of $𝒮$, that is to say of the cones $X$ of $𝒮$ such any non zero element of $X$ majorizes a non zero element of $X$ contained in a cap, and that they define a remarquable class of cone which are said to be “biréticulé”. The purpose of the first two chapters is a complete study of these cones. In the third chapter, we prove that the biréticulé cones are quite similar to Radon cones in that sense that if $X$ is a biréticulé cone having a base, there exists a continuous linear injection from $X$ onto an everywhere dense face of a Radon cone. Many examples are given.

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