Quotients compacts des groupes ultramétriques de rang un

Kassel, Fanny

Annales de l'Institut Fourier, Tome 60 (2010) no. 5, pp. 1741-1786.

Soit $G$ l’ensemble des points d’un groupe algébrique semi-simple connexe de rang relatif un sur un corps local ultramétrique. Nous décrivons tous les sous-groupes discrets de type fini sans torsion de $G\times G$ qui agissent proprement et cocompactement sur $G$ par multiplication à gauche et à droite. Nous montrons qu’après une petite déformation dans $G\times G$ un tel sous-groupe agit encore librement, proprement discontinûment et cocompactement sur $G$.

Let $G$ be the set of points of a connected semisimple algebraic group of relative rank one over a non-Archimedean local field. We describe all finitely generated torsion-free discrete subgroups of $G\times G$ acting properly discontinuously and cocompactly on $G$ by left and right multiplication. We prove that after a small deformation in $G\times G$ such a subgroup keeps acting freely, properly discontinuously, and cocompactly on $G$.

Classification : 20G25, 22E40, 57M15, 57S30
Mot clés : sous-groupes discrets des groupes $p$-adiques, actions propres, quotients compacts, isométries d’arbres réels simpliciaux, outre-espace
Keywords: Discrete subgroups of $p$-adic groups, properly discontinuous actions, compact quotients, isometries of simplicial $\mathbb{R}$-trees, Outer Space

[1] Bass, H. Covering theory for graphs of groups, J. Pure Appl. Algebra, Volume 89 (1993), pp. 3-47 | DOI | MR | Zbl

[2] Bass, H.; Lubotzky, A. Tree lattices, Progress in Mathematics, 176, Birkhäuser, Boston, MA, 2001 | MR | Zbl

[3] Borel, A. Linear algebraic groups, deuxième édition, Graduate Texts in Mathematics, 126, Springer-Verlag, New York, 1991 | MR | Zbl

[4] Borel, A.; Tits, J. Groupes réductifs, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci., Volume 27 (1965), pp. 55-150 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[5] Bruhat, F.; Tits, J. Groupes réductifs sur un corps local : I. Données radicielles valuées, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci., Volume 41 (1972), pp. 5-251 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[6] Bruhat, F.; Tits, J. Groupes réductifs sur un corps local : II. Schémas en groupes. Existence d’une donnée radicielle valuée, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci., Volume 60 (1984), pp. 5-184 | DOI | Numdam | Zbl

[7] Culler, M.; Vogtmann, K. Moduli of graphs and automorphisms of free groups, Invent. Math., Volume 84 (1986), pp. 91-119 | DOI | MR | Zbl

[8] Diestel, R. Graph theory, troisième édition, Graduate Texts in Mathematics, 173, Springer-Verlag, Berlin, 2005 | MR | Zbl

[9] Francaviglia, S.; Martino, A. Metric properties of outer space (arXiv 0803.0640)

[10] Ghys, É. Déformations des structures complexes sur les espaces homogènes de ${\mathrm{SL}}_2\left(ℂ\right)$, J. Reine Angew. Math., Volume 468 (1995), pp. 113-138 | DOI | MR | Zbl

[11] Goldman, W. M. Nonstandard Lorentz space forms, J. Differ. Geom., Volume 21 (1985), pp. 301-308 | MR | Zbl

[12] Kassel, F. Proper actions on corank-one reductive homogeneous spaces, J. Lie Theory, Volume 18 (2008), pp. 961-978 | MR | Zbl

[13] Klingler, B. Complétude des variétés lorentziennes à courbure constante, Math. Ann., Volume 306 (1996), pp. 353-370 | DOI | MR | Zbl

[14] Kobayashi, T. Proper action on a homogeneous space of reductive type, Math. Ann., Volume 285 (1989), pp. 249-263 | DOI | MR | Zbl

[15] Kobayashi, T. On discontinuous groups acting on homogeneous spaces with noncompact isotropy subgroups, J. Geom. Phys., Volume 12 (1993), pp. 133-144 | DOI | MR | Zbl

[16] Kobayashi, T. Deformation of compact Clifford-Klein forms of indefinite-Riemannian homogeneous manifolds, Math. Ann., Volume 310 (1998), pp. 394-408 | DOI | MR | Zbl

[17] Kulkarni, R. S.; Raymond, F. 3-dimensional Lorentz space-forms and Seifert fiber spaces, J. Differ. Geom., Volume 21 (1985), pp. 231-268 | MR | Zbl

[18] Lubotzky, A. Lattices in rank-one Lie groups over local fields, Geom. Funct. Anal., Volume 1 (1991), pp. 405-432 | DOI | EuDML | MR | Zbl

[19] Margulis, G. A. Discrete subgroups of semisimple Lie groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, sér. 3, 17, Springer-Verlag, Berlin, 1991 | MR | Zbl

[20] Rousseau, G. Euclidean buildings, Nonpositive curvature geometry, discrete groups and rigidity, notes de l’école d’été de l’Institut Joseph Fourier de Grenoble en 2004 (Séminaires et Congrès), Volume 18, Société Mathématique de France, Paris (2008)

[21] Salein, F. Variétés anti-de Sitter de dimension 3 possédant un champ de Killing non trivial, C. R. Acad. Sci. Paris, Volume 324 (1997) no. 5, pp. 525-530 | MR | Zbl

[22] Salein, F. Variétés anti-de Sitter de dimension 3 exotiques, Ann. Inst. Fourier, Volume 50 (2000), pp. 257-284 | DOI | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[23] Selberg, A. On discontinuous groups in higher-dimensional symmetric spaces, Collected papers, Volume 1, p. 475-492, Springer-Verlag, Berlin, 1989

[24] Serre, J.-P. Arbres, amalgames, $\mathrm{SL}\left(2\right)$, Astérisque, 46, Société Mathématique de France, Paris, 1977 | Numdam | MR | Zbl

[25] Thurston, W. P. Minimal stretch maps between hyperbolic surfaces (1986, arXiv 9801039)

[26] Tits, J. Sur le groupe des automorphismes d’un arbre, Essays on topology and related topics, Mémoires dédiés à Georges de Rham, p. 188-211, Springer-Verlag, Berlin, 1970 | MR | Zbl

[27] Tits, J. Free subgroups in linear groups, J. Algebra, Volume 20 (1972), pp. 250-270 | DOI | MR | Zbl