Sur la dualité et la descente d’Iwasawa

Vauclair, David

Annales de l'Institut Fourier, Tome 59 (2009) no. 2, pp. 691-767.

Nous développons – en nous appuyant sur l’exemple concret des unités cyclotomiques et du groupe de classes en théorie d’Iwasawa cyclotomique – de nouveaux outils pour une étude générale de la descente et de la codescente, dans l’optique de comparer ces deux points de vue duaux.

Si $A=\left(A_n\right)$ est un « système normique » (i.e. une collection de modules galoisiens avec données supplémentaires), attaché à une extension de Lie $p$-adique fixée d’algèbre d’Iwasawa $\Lambda$, nous montrons principalement qu’il existe un morphisme naturel

$$R\underleftarrow{lim}{A}_n\to {\mathrm{RHom}}_{\Lambda }({\mathrm{RHom}}_{{\mathbb{Z}}_p}(\underrightarrow{lim}{A}_n,{\mathbb{Z}}_p),\Lambda )$$

lequel peut être muni d’un cône fonctoriel mesurant à la fois le défaut de descente (pour les $A_n$) et celui de codescente. Grâce à un raffinement de la dualité de Poincaré, on aboutit à une relation éclairante entre les deux.

Nous détaillons comment les résultats connus du cadre cyclotomique s’intègrent dans cette étude, et donnons des généralisations au cas des ${\mathbb{Z}}_p$-extensions multiples.

Guided by the concrete examples of cyclotomic units and the ideal class group in cyclotomic Iwasawa theory, we develop a general tool for studying descent and codescent, with a special interest in relating the two of them.

Given any « normic system » $A=\left(A_n\right)$ (that is a collection of Galois modules plus additional data), attached to a fixed $p$-adic Lie extension with Iwasawa algebra $\Lambda$, we mainly show that there is a natural morphism

$$R\underleftarrow{lim}{A}_n\to {\mathrm{RHom}}_{\Lambda }({\mathrm{RHom}}_{{\mathbb{Z}}_p}(\underrightarrow{lim}{A}_n,{\mathbb{Z}}_p),\Lambda )$$

which can be given a functorial cone measuring the defect of descent as well as the defect of codescent (for the $A_n$’s). Thanks to a sharpening of the usual Poincaré duality, this results in an enlightening relation between these two.

We show in great detail how known results in the cyclotomic situation fit into this setting, and give a generalization to multiple ${\mathbb{Z}}_p$-extensions.

Classification : 11R34, 13C05, 11R23
Mot clés : Iwasawa theory, duality, control
Keywords: Théorie d’Iwasawa, dualité, contrôle

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