Embedding subsets of tori Properly into ${ℂ}^2$

Wold, Erlend Fornæss

Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 5, pp. 1537-1555.

Nous avons fait des progrès sur le problème du plongement des surfaces de Riemann ouvertes dans ${ℂ}^2$. Il est connu que pour tout entier naturel $d\ge 2$, le nombre $N_d:=\left[\frac{3d}{2}\right]+1$ est le plus petit entier naturel pour lequel il existe un plongement propre de toute variété de Stein de dimension $d$ dans ${ℂ}^{N_d}$. Le problème du plongement propre des variétés de Stein de dimension 1 dans ${ℂ}^2$ reste ouvert (il existe du plongement propre dans ${ℂ}^3$). Dans ce texte nous prouvons le résultat suivant  : soit $𝕋$ un tore complexe de dimension 1  ; alors il existe un plongement propre de toute partie de $𝕋$, dont la frontière a un nombre fini de composantes (aucune d’elle n’étant un point), dans ${ℂ}^2$. Nous prouvons aussi que les algèbres de fonctions analytiques sur certaines surfaces de Riemann sont doublement générées.

Let $𝕋$ be a complex one-dimensional torus. We prove that all subsets of $𝕋$ with finitely many boundary components (none of them being points) embed properly into ${ℂ}^2$. We also show that the algebras of analytic functions on certain countably connected subsets of closed Riemann surfaces are doubly generated.

Classification : 32H35, 30F99
Keywords: Holomorphic embeddings, Riemann surfaces
Mot clés : plongements holomorphiques, surfaces de Riemann

[1] Ahlfors, L. V. Complex Analysis., McGraw Hill, 1966 | MR | Zbl

[2] Alexander, H. Explicit imbedding of the (punctured) disc into ${ℂ}^2$., Math.Helv., Volume 52 (1977), pp. 439-544 | DOI | MR | Zbl

[3] Behnke, H.; Stein, K. Entwicklung analytisher Funktionen auf Riemannschen Flachen., Math. Ann., Volume 120 (1949), pp. 430-461 | DOI | MR | Zbl

[4] Eliashberg, Y.; Gromov, M. Embeddings of Stein manifolds of dimension $n$ into the affine space of dimension $3n/2+1$, Ann.Math., Volume 136 (1992), pp. 123-135 | DOI | MR | Zbl

[5] Forster, O. Plongements des variétés de Stein., Comm.Math.Helv., Volume 45 (1970), pp. 170-184 | DOI | MR | Zbl

[6] Forster, O. Lectures on Riemann Surfaces, Springer-Verlag, 1999 | MR | Zbl

[7] Forstnerič, F.; Černe, M. Embedding some bordered Riemann surfaces in the affine plane., Math. Res. Lett., Volume 9 (2002), pp. 683-696 | MR | Zbl

[8] Forstnerič, F. The homotopy principle in complex analysis: A survey., Contemp. Math., Amer. Math. Soc., Providence, RI, Volume 332 (2003), pp. 73-99 | MR | Zbl

[9] Forstnerič, F.; Løw, E. Global holomorphic equivalence of smooth manifolds in ${ℂ}^k$, Indiana Univ.Math.J., Volume 46 (1997), pp. 133-153 | DOI | MR | Zbl

[10] Globevnik, J.; Stensønes, B. Holomorphic embeddings of some planar domains into ${ℂ}^2$, Math. Ann., Volume 303 (1995), pp. 579-597 | DOI | MR | Zbl

[11] Goluzin, G. M. Geometric theorey of functions of a complex variable., American mathematical society, Providence, R.I., 1969 | MR | Zbl

[12] Gunning, R. C.; Rossi, H. Analytic functions of several complex variables, Prentice-Hall, Inc., 1965 | MR | Zbl

[13] He, Z-X.; Schramm, O. Fixed points, Koebe uniformization, and circle packings., Ann.Math., Volume 137 (1993), pp. 369-406 | DOI | MR | Zbl

[14] Kasahara, K.; Nishino, T. As announced in Math Reviews., Math.Reviews., Volume 38 (1969), pp. 4721

[15] Laufer, H. B. Imbedding annuli in ${ℂ}^2$., J. d’Analyse Math., Volume 26 (1973), pp. 187-215 | DOI | Zbl

[16] Malgrange, B. Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution., Ann. Inst. Fourier, Volume 6 (1955-56), pp. 271-354 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[17] Schurmann, J. Embeddings of Stein spaces into affine spaces of minimal dimension., Math.Ann., Volume 307 (1997), pp. 381-399 | DOI | MR | Zbl

[18] Stolzenberg, G. Uniform approximation on smooth curves., Acta Math., Volume 115 (1966), pp. 185-198 | DOI | MR | Zbl

[19] Wold, E. F. Embedding Riemann surfaces into ${ℂ}^2$., Internat.J.Math, Volume 17 (2006), pp. 963-974 | DOI | MR | Zbl

[20] Wold, E. F. Proper holomorphic embeddings of finitely and some infinitely connected subsets of $ℂ$ into ${ℂ}^2$., Math.Z., Volume 252 (2006), pp. 1-9 | DOI | MR | Zbl