Entrelacement de co-Poisson

Burnol, Jean-François

Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 2, pp. 525-602.

On connaît le lien intime qui existe entre les équations fonctionnelles des fonctions $L$ et les formules sommatoires dont le prototype est donné par celle de Poisson. Ce lien fait intervenir la transformation intégrale de Fourier et ses généralisations. Ici, nous réexaminons la signification harmonique (ainsi qu’hilbertienne et distributionnelle) des équations fonctionnelles ayant la forme la plus simple, à savoir, celle s’appliquant pour la fonction dzêta de Riemann et les séries $L$ de Dirichlet (un grand nombre de nos considérations ont une portée plus générale). Certaines formules, cousines mais distinctes des formules à la Poisson et que nous appellerons formules de co-Poisson, jouent alors le rôle central.

The intimate link relating the functional equations of $L$-functions to the summatory formulas whose prototype is the Poisson formula is a familiar fact. This link involves the Fourier integral transform and its generalizations. Here, we shall reexamine the harmonic (as well as hilbertian and distributional) meaning of the functional equations with the simplest shape, the one applying to the Riemann zeta function and to the Dirichlet $L$-series (many of our considerations have a more general range.) Certain formulas, related to but distinct from the Poisson-type formulas, play the central role. We call them co-Poisson formulas.

Classification : 30D15, 42A38, 46F99
Mot clés : transformation de Fourier, formule de Poisson, fonction zeta de Riemann, fonctions entières
Keywords: Fourier transform, Poisson formula, Riemann zeta function, entire functions

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