Les connexions hypergéométriques et le théorème de linéarité de T. Terasoma

Maaref, Fayçal

Annales de l'Institut Fourier, Tome 47 (1997) no. 1, pp. 49-67.

Cet article a pour but de calculer les coefficients du caractère du produit alterné des déterminants des connexions de Gauss–Manin associées à une famille de $p$ polynômes sur ${\mathbf{C}}^n$. Nous généralisons et précisons certains résultats de T. Terasoma (Inv. Math., 1992). L’idée de ce travail est de considérer la structure mixte donnée par l’action des translations entières sur les exposants $s_1,...,s_p$ sur le déterminant de l’image directe de $𝒪f_1^{s_1}...f_p^{s_p}$ et celle de $𝒟$-module.

The goal of this article is to calculate the coefficients of the character of the Gauss–Manin connexions associated to a family of $p$ polynomials on ${\mathbf{C}}^n$. We generalize and precise certain results of T. Terasoma (Inv. Math., 1992). Our idea is to consider the mixed structure given by the action of the entire translations on the exponents $s_1,...,s_p$ over the determinant of the direct image $𝒪f_1^{s_1}...f_p^{s_p}$ and the one of $𝒟$-module (derivation with respect to parameters).

[1] G.W. Anderson, Local factorization of determinants of twisted DR cohomology groups, Compositio Mathematica, 83 (1992). | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[2] J. Bernstein, The analytic continuation of generalized functions with respect to a parameter, Funct. An. and Appl., 6 (1972), 273-285. | MR | Zbl

[3] J.-E. Björk, Rings of Differential Operators, North Holland, Amsterdam, 1979. | MR | Zbl

[4] J.-E. Björk, Analytic D-modules and applications, Kluwer Academic Publisher, Dordrecht, 1993. | MR | Zbl

[5] A. Borel Et Al., Algebraic D-modules, Perspectives in Math. vol. 2 Academic Press, Boston, 1987. | MR | Zbl

[6] N. Bourbaki, Algèbre, tome 1, Hermann, Paris.

[7] P. Deligne, Équations différentielles à points singuliers réguliers, Lect. Notes in Math. vol. 163, Springer Verlag, 1970. | MR | Zbl

[8] P. Deligne, Le formalisme des cycles évanescents (exposés 13 et 14), SGA 7 II Springer Lect. Notes in Math., 340 (1973), 82-115 et 116-173. | MR | Zbl

[9] A. Douai, Déterminants d'intégrales de fonctions multiformes et polygones de Newton, Compositio Mathematica, 87 (1993). | Numdam | MR

[10] R. Godement, Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Hermann, Paris, 1964.

[11] M. Granger, Ph. Maisonobe, A basic course on differential modules Travaux en cours, les cours du CIMPA, Éléments de la théorie des systèmes différentiels, vol. 1 Hermann, Paris, 1993. | Zbl

[12] A. Grothendieck, Le langage des schémas, Publications de l'IHES, 4.

[13] B. Iversen, Cohomology of sheaves, Universitext, Springer Verlag, Heidelberg, 1986. | MR | Zbl

[14] F. Loeser, C. Sabbah, Équations aux différences finies et déterminants d'intégrales de fonctions multiformes, Comment. Math. Helv., 66 (1991), 458-503. | MR | Zbl

[15] F. Maaref, Thèse, Université de Paris 7, 1995.

[16] Z. Mebkhout, Le formalisme des six opérations de Grothendieck pour les D-modules cohérents, Hermann, Paris, 1989. | MR | Zbl

[17] F. Pham, Singularités des systèmes de Gauss-Manin, Progress in Math. vol. 2, Birkhaüser, Boston, 1980.

[18] C. Sabbah, Introduction to algebraic theory of linear systems of differential equations, Travaux en cours, les cours du CIMPA, Eléments de la théorie des systèmes différentiels vol. 1 Hermann, Paris, 1993, 1-80. | MR | Zbl

[19] T. Terasoma, On the determinant of Gauss-Manin connections and Hypergeometric functions on hypersurfaces, Invent. Math., 110 (1992), 441-473. | MR | Zbl

[20] J.-L. Verdier, Stratifications de Whitney et le théorème de Bertini-Sard, Inv. Math., 36 (1976). | MR | Zbl

[21] J.-L. Verdier, Exposé sur les faisceaux constructibles, Séminaire de géométrie analytique Douady-Verdier, École Normale Supérieure de Paris, 1974.

[22] Van Der Waerden, Modern algebra, Frederick Ungar Publishing co., New York, 1966.