Homologie des ensembles semi-pfaffiens

Lion, Jean-Marie; Rolin, Jean-Philippe

Annales de l'Institut Fourier, Tome 46 (1996) no. 3, pp. 723-741.

Un sous-ensemble pfaffien d’un ouvert semi-analytique $M\subset {\mathbf{R}}^n$ est une intersection finie d’ensembles semi-analytiques relativement compacts de ${\mathbf{R}}^n$ et de feuilles non spiralantes de certains feuilletages analytiques de codimension 1 de $M.$ Les sous-ensembles semi-pfaffiens de $M$ sont les éléments de la plus petite classe de sous-ensembles de $M$ contenant les sous-ensembles pfaffiens de $M$, stable par intersection finie, réunion finie et différence symétrique. Les ensembles $T$-pfaffiens sont les éléments de la plus petite classe de sous-ensembles de ${\mathbf{R}}^n$ contenant les ensembles pfaffiens, stable par intersection finie, réunion finie, passage à l’adhérence et projection linéaire. Nous montrons la finitude des nombres de Betti des ensembles semi-pfaffiens relativement compacts et la finitude du nombre de composantes connexes des $T$-pfaffiens.

A pfaffian subset of an open semianalytic subset $M$ of ${\mathbf{R}}^n$ is a finite intersection of relatively compact semianalytic sets of ${\mathbf{R}}^n$ and non spiraling leaves of analytic codimension 1 foliations of $M.$ The class of semipfaffian subsets of $M$ is the smallest collection of subsets of $M$ containing the pfaffian subsets of $M,$ which is stable under finite intersection, finite union and complement in $M$. The class of $T$-pfaffian sets is the smallest collection of subsets of ${\mathbf{R}}^n,$ containing the pfaffian sets, which is stable under finite intersection, finite union, topological closure and linear projection. We prove the finiteness of Betti numbers of relatively compact semipfaffian sets and the finiteness of the number of connected components of $T$-pfaffian sets.

[CLM]F. Cano, J.-M. Lion et R. Moussu, Frontière d'une hypersurface pfaffienne, accepté aux Ann. scient. de l'Éc. Norm. Sup. (octobre 1994). | Numdam | Zbl

[Ch]J.-Y. Charbonnel, Sur certains sous-ensembles de l'espace euclidien, Ann. Inst. Fourier, 41-3 (1991), 679-717. | Numdam | MR | Zbl

[Co]P.J. Cohen, Decision procedures for real and p-adic fields, Comm. Pure Appl. Math., 22 (1969), 131-151. | MR | Zbl

[CR]D. Cerveau et F. Ronga, Applications topologiquement stables, prépublication du Laboratoire de Topologie, Université de Dijon, (1975).

[DMM]L. Van Den Dries, A. Macintyre et D. Marker, The elementary theory of restricted analytic fields with exponentiation, Annals of Maths, 140 (1994), 183-205. | MR | Zbl

[Ha]A. Haefliger, Variétés feuilletées, Ann. Ec. Norm. Sup. de Pise, Série 3, 6 (1962), 367-397. | Numdam | MR | Zbl

[Kh1]A. G. Khovanskii, Real analytic varieties with the finitness property and complex abelian integrals, Funct. Anal. and Appl., 18 (1984), 119-127. | MR | Zbl

[Kh2]A. G. Khovanskii, Fewnomials, A.M.S. translations of mathematical monographs 88 (1991). | Zbl

[Li]J.-M. Lion, Étude des hypersurfaces pfaffiennes, Thèse, Université de Bourgogne (1991).

[LR]J.-M. Lion et C.A. Roche, Topologie des hypersurfaces pfaffiennes, Bulletin de la S.M.F., 124 (1996), 35-39. | Numdam | MR | Zbl

[Lo]S. Łojasiewicz, Ensembles semi-analytiques, preprint I.H.E.S. (1965).

[Mi]J. Milnor, On the Betti numbers of real varieties, Proc. Amer. Math. Soc., 15 (1964), 275-280. | MR | Zbl

[MR1]R. Moussu et C.A. Roche, Théorie de Hovanskii et problème de Dulac, Invent. Math., 105 (1991), 431-441. | MR | Zbl

[MR2]R. Moussu et C.A. Roche, Théorèmes de finitude uniforme pour les variétés pfaffiennes de Rolle, Ann. Inst. Fourier 42, 1-2 (1992), 393-420. | Numdam | MR | Zbl

[Re]J.-P. Ressayre, Integer parts of real closed exponential fields, Arithmetic, Proof Theory and Computational Complexity, P. Clote and J. Krajicek, eds., Oxford University Press, 1993, 278-288. | MR | Zbl

[Ri]J.-J. Risler, Complexité et géométrie réelle (d'après A. Khovanskii), Séminaire Bourbaki, 637 (1984). | Numdam | Zbl

[Ro]C. Roche, Densities for Certain Leaves of Real Analytic Foliations, Astérisque, 222 (1994), 373-387. | Numdam | MR | Zbl

[Th1]R. Thom, Sur l'homologie des variétés algébriques réelles, Differential and Combinatorial Topology, Princeton University Press (1965), 255-265. | MR | Zbl

[Th2]R. Thom, Sur les bouts d'une feuille d'un feuilletage au voisinage d'un point singulier isolé, Proceedings Mexico 1986, L.N.M. 1345, 317-321. | MR | Zbl

[To1]J.-C. Tougeron, Algèbres analytiques topologiquement nœthériennes. Théorie de Hovanskii, Ann. Inst. Fourier, 41-4 (1991), 823-840. | Numdam | Zbl

[To2]J.-C. Tougeron, Sur certaines algèbres de fonctions analytiques, Séminaire de Géométrie Algébrique réelle de Paris VII (1986). | MR | Zbl

[Wi]A. J. Wilkie, Model completness results for expansions of real field II : The exponential function, preprint (1991).