Maximally degenerate laplacians

Zelditch, Steven

Annales de l'Institut Fourier, Tome 46 (1996) no. 2, pp. 547-587.

Le laplacien ${\Delta }_g$ d’une variété riemannienne compacte $(M,g)$ est dit maximalement dégénéré (MD) si la fonction $m_k\left(g\right)$ de multiplicité des valeurs propres est de croissance maximale parmi les métriques de même dimension et volume. Les sphères canoniques $(S^n,\mathrm{can})$ et les CROSS sont MD, et on se demande s’ils sont les seuls exemples. Nous montrons qu’une métrique MD doit au moins être une métrique de Zoll, avec une seule valeur propre distincte dans chaque accumulation, et donc avec toutes les invariants de bandes égaux à zéro. L’invariant principal de bande est calculé en termes d’intégrales géodésiques de courbure et des champs de Jacobi, donnant une condition locale métrique pour la dégénérescence maximale. Dans des cas spéciaux (surfaces de révolution, espaces projectifs réels), on démontre que les métriques MD sont des CROSS.

The Laplacian ${\Delta }_g$ of a compact Riemannian manifold $(M,g)$ is called maximally degenerate if its eigenvalue multiplicity function $m_g\left(k\right)$ is of maximal growth among metrics of the same dimension and volume. Canonical spheres $(S^n,\mathrm{can})$ and CROSSes are MD, and one asks if they are the only examples. We show that a MD metric must be at least a Zoll metric with just one distinct eigenvalue in each cluster, and hence with all band invariants equal to zero. The principal band invariant is then calculated in terms of geodesic integrals of curvature and Jacobi fields, giving a local metric condition for maximal degeneracy. In special cases (surfaces of revolution, real projective spaces) the MD metrics are shown to be CROSSes.

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