Sur la structure hermitienne de la racine carrée de la codifférente

Bachoc, Christine

Annales de l'Institut Fourier, Tome 43 (1993) no. 3, pp. 619-654.

Soit $K$ un corps de nombres galoisien sur $\mathbb{Q}$ de degré impair, et soit $G$ son groupe de Galois. Alors il existe un unique idéal fractionnaire de $K$ qui soit unimodulaire pour la forme quadratique ${Trace}_{K/\mathbb{Q}}(x^2)$. Cet idéal est la racine carrée de la codifférente, et est noté $A_K$. Dans cet article, on décrit un représentant explicite de la classe de $\mathbb{Z}\left[G\right]$-isométrie du couple $(A_K,{Trace}_{K/\mathbb{Q}}(x^2\left)\right)$, ne dépendant que des nombres premiers $p$ sauvagement ramifiés dans $K$, et dont le degré de ramification est différent de $p$.

Let $K$ be a number field which is Galois over $\mathbb{Q}$, of odd degree and let $G$ be its Galois group. There is a unique fractional ideal of $K$ which is unimodular for the quadratic form ${Trace}_{K/\mathbb{Q}}(x^2)$. This ideal is the square root of the inverse different, and is denoted $A_K$. In this paper, we describe an explicit representative of the $\mathbb{Z}\left[G\right]$-isometry class of $(A_K,{Trace}_{K/\mathbb{Q}}(x^2\left)\right)$, which depends only on the wildly ramified prime numbers $p$ having a ramification index in $K$ different from $p$.

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