Équations aux dérivées partielles inhomogènes à coefficients constants dépendant de paramètres

Trèves, François

Annales de l'Institut Fourier, Tome 13 (1963) no. 1, pp. 123-138.

On considère un opérateur différentiel linéaire $P(\lambda ,D_x)$ sur ${\mathbf{R}}^n$ dont les coefficients sont constants par rapport au point $x$ de ${\mathbf{R}}^n$ mais sont des fonctions complexes $C^{\infty }$ du point $\lambda$ d’une variété $\Lambda$ qui est $C^{\infty }$. On suppose que ces coefficients ne s’annulent pas simultanément, pour aucune valeur de $\lambda \in \Lambda$. Alors (“Théorème des supports”) si $\nu (x,\lambda )$ est une distribution sur ${\mathbf{R}}^n\times \Lambda$ dont le support se projette sur ${\mathbf{R}}^n$ suivant un compact, si $C$ est un compact convexe de ${\mathbf{R}}^n$ et $F$ un fermé de $\Lambda$,

$$\mathrm{support}P(\lambda ,D_x)\nu (x,\lambda )\subset C\times F\Rightarrow \mathrm{support}\nu (x,\lambda )\subset C\times F.$$

Ce résultat est utilisé pour prouver le “théorème d’existence dans $C^{\infty }$” : soit $\Omega$ un ouvert dans ${\mathbf{R}}^n\times \Lambda$ dont les coupes parallèles à ${\mathbf{R}}^n$ sont convexes ; alors $P(\lambda ,D_x)C_{x,\lambda }^{\infty }\left(\Omega \right)=C_{x,\lambda }^{\infty }\left(\Omega \right)$. D’autres théorèmes d’existence sont établis.

[1] A. Grothendieck, Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires. Mémoires Amer. Math. Soc., N° 16 (1955). | MR | Zbl

[1] B. Malgrange, Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution. Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 6 (1955-1956), p. 271. | Numdam | MR | Zbl

[2] B. Malgrange, Sur une classe d'opérateurs hypoelliptiques. Bull. Soc. Math. France, 85, (1957), p. 283. | Numdam | MR | Zbl

[1] L. Schwartz, Théorie des distributions, Hermann, Paris. | Zbl

[2] L. Schwartz, Séminaire sur les équations aux dérivées partielles, Année 1954-1955, I.H.P., Paris. | Zbl

[3] L. Schwartz, Espaces de fonctions différentiables à valeurs vectorielles. Journ. Anal., Jérusalem (1954-1955), IV, p. 88. | Zbl

[1] F. Trèves, Opérateurs différentiels hypoelliptiques. Ann. Inst. Fourier, 9, (1959), p. 1. | Numdam | MR | Zbl

[2] F. Trèves, Fundamental solutions of linear partiel differential equations with constant coefficients depending on parameters, Amer. J. of Math. (1963). | Zbl

[3] F. Trèves, Un théorème sur les équations aux dérivées partielles dépendant de paramètres, Bull. Soc. Math. France, 90 (1962), p. 473. | Numdam | MR | Zbl