Régularité de la solution d'un problème de Cauchy fortement non linéaire à données singulières en un point

Chemin, Jean-Yves

Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989) no. 1, pp. 101-121.

Dans cet article, on étudie la régularité d’une solution réelle, appartenant à $H^s$ pour $s$ assez grand, d’une équation aux dérivées partielles strictement hyperbolique et fortement non linéaire d’ordre deux. On suppose que les données de Cauchy sur une hypersurface spatiale lisse sont régulières en dehors d’un point, et ont une singularité conormale en ce point; on démontre alors que la réunion $\Gamma$ des bicaractéristiques nulles issues de ce point est, en dehors de ce point, une hypersurface lisse et que la solution a uniquement des singularités conormales le long de $\Gamma$.

In this paper, we study the regularity of a real solution, belonging to $H^s$ with $s$ big enough, of a strongly non linear strictly hyperbolic partial differential equation of order two. We suppose that the two Cauchy datas on a space-like smooth hypersurface are smooth off a point, and have a conormal singularity at this point ; then we prove that the union $\Gamma$ of null bicharacteristics issued from this point is, off this point, a smooth hypersurface, and that the solution has only conormal singularities along $\Gamma$.

[1] S. Alinhac, Evolution d'une onde simple pour des équations non linéaires générales, à paraître dans Current Topics in PDE, Kinokuniya Co, 1985. | Numdam | MR | Zbl

[2] S. Alinhac, Interaction d'ondes simples pour des équations complètement non linéaires, Ann. Sci. de l'E.N.S., 4e Série, 21 (1988). | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[3] H. Bahouri et B. Dehman, Propagation des singularités hölderiennes de solutions d'équations non linéaires, à paraître.

[4] M. Beals, Self spreading and strength of singularities for solutions of semi linear wave equation, Annals of Maths, 118 (1983). | MR | Zbl

[5] J.-M. Bony, Calcul symbolique et propagation des singularités pour les équations aux dérivées partielles non linéaires, Ann, Sci. Ecole Normale Supérieure, 4ème série, 14 (1981). | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[6] J.-M. Bony, Singularités des solutions de problèmes de Cauchy hyperboliques non linéaires, Advances in micro local analysis, Nato ASI série 1985 Castelvecchio Pasoli, Italy, Reidel Pub. Comp. Ed. Garnir. | MR | Zbl

[7] J.-Y. Chemin, Calcul paradifférentiel précisé et applications à des équations aux dérivées partielles non semi linéaires, Duke Mathematic Journal, Vol. 56 n° 2 (1988). | MR | Zbl

[8] J.-Y. Chemin, Ondes lentes et interaction contrôlée pour les équations strictement hyperboliques non linéaires, Séminaire E.D.P. de l'Ecole Polytechnique, 1986-1987. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[9] J.-Y. Chemin, Calcul symbolique bilinéaire et interaction contrôlée dans les équations aux dérivées partielles non linéaires strictement hyperboliques, Bull. Soc. Math. France, 116 (1988). | Numdam | MR | Zbl

[10] P. Godin, Propagation of C∞-regularity for fully non linear second order strictly hyperbolic equations in two variables, Trans. Amer. Math. Soc., 290 (1985). | MR | Zbl

[11] L. Hörmander, The analysis of linear partial differential equations, tome 3, Springer-Verlag, 1984.

[12] S. Lang, Introduction aux variétés différentiables, Dunod, 1962.

[13] N. Ritter, Progressing wave solutions to non linear hyperbolic Cauchy problems, Thèse M.I.T., 1984.

[14] M. Sablé-Tougeron, Régularité microlocale pour des problèmes aux limites non linéaire, Ann. Inst. Fourier, 36-1 (1986), 39-82. | Numdam | MR | Zbl