Séries hypergéométriques multiples et polyzêtas

Cresson, J.; Fischler, S.; Rivoal, T.

doi:10.24033/bsmf.2550

Cresson, J. ; Fischler, S. ; Rivoal, T.

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 136 (2008) no. 1, pp. 97-145.

Résumé
Abstract

Nous décrivons un algorithme théorique et effectif permettant de démontrer que des séries et intégrales hypergéométriques multiples relativement générales se décomposent en combinaisons linéaires à coefficients rationnels de polyzêtas.

We describe a theoretical and effective algorithm which enables us to prove that rather general hypergeometric series and integrals can be decomposed as linear combinations of multiple zeta values, with rational coefficients.

EuDML MR Zbl

DOI : 10.24033/bsmf.2550

Classification : 33C70, 11M41, 11M06, 11J72
Mot clés : polyzêta, série hypergéométrique multiple, algorithme
Keywords: multiple zeta value, multiple hypergeometric series, algorithm

@article{BSMF_2008__136_1_97_0,
     author = {Cresson, J. and Fischler, S. and Rivoal, T.},
     title = {S\'eries hyperg\'eom\'etriques multiples et polyz\^etas},
     journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     pages = {97--145},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {136},
     number = {1},
     year = {2008},
     doi = {10.24033/bsmf.2550},
     mrnumber = {2415337},
     zbl = {1161.33003},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2550/}
}

TY  - JOUR
AU  - Cresson, J.
AU  - Fischler, S.
AU  - Rivoal, T.
TI  - Séries hypergéométriques multiples et polyzêtas
JO  - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY  - 2008
SP  - 97
EP  - 145
VL  - 136
IS  - 1
PB  - Société mathématique de France
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2550/
DO  - 10.24033/bsmf.2550
LA  - fr
ID  - BSMF_2008__136_1_97_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Cresson, J.
%A Fischler, S.
%A Rivoal, T.
%T Séries hypergéométriques multiples et polyzêtas
%J Bulletin de la Société Mathématique de France
%D 2008
%P 97-145
%V 136
%N 1
%I Société mathématique de France
%U http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2550/
%R 10.24033/bsmf.2550
%G fr
%F BSMF_2008__136_1_97_0

Cresson, J.; Fischler, S.; Rivoal, T. Séries hypergéométriques multiples et polyzêtas. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 136 (2008) no. 1, pp. 97-145. doi : 10.24033/bsmf.2550. http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2550/

Bibliographie
Cité par

[1] S. Akiyama, S. Egami & Y. Tanigawa - « Analytic continuation of multiple zeta-functions and their values at non-positive integers », Acta Arith. 98 (2001), p. 107-116. | MR | Zbl

[2] S. Akiyama & Y. Tanigawa - « Multiple zeta values at non-positive integers », Ramanujan J. 5 (2001), p. 327-351 (2002). | MR | Zbl

[3] R. Apéry - « Irrationalité de $ζ (2)$ et $ζ (3)$ », Astérisque 61 (1979), p. 11-13. | Numdam | Zbl

[4] W. N. Bailey - Generalized hypergeometric series, Cambridge University Press, Cambridge, 1935. | JFM | Zbl

[5] K. Ball & T. Rivoal - « Irrationalité d'une infinité de valeurs de la fonction zêta aux entiers impairs », Invent. Math. 146 (2001), p. 193-207. | MR | Zbl

[6] F. Beukers - « A note on the irrationality of $ζ (2)$ and $ζ (3)$ », Bull. London Math. Soc. 11 (1979), p. 268-272. | MR | Zbl

[7] F. C. S. Brown - « Périodes des espaces des modules ${\bar{M}}_{0, n}$ et multizêtas », C. R. Acad. Sci. Paris, Sér.I 336 (2006). | Zbl

[8] P. Cartier - « Fonctions polylogarithmes, nombres polyzêtas et groupes pro-unipotents », Astérisque 282 (2002), p. 137-173, Séminaire Bourbaki, Vol. 2000/2001. | Numdam | MR | Zbl

[9] P. Colmez - Arithmétique de la fonction zêta, Ed. Éc. Polytech., Palaiseau, 2003. | MR

[10] J. Cresson - « Calcul Moulien », Prépublication IHÉS 06/22 (2006), 93p. | Numdam

[11] J. Cresson, S. Fischler & T. Rivoal - « Code en GP-Pari de l'implémentation de l'algorithme décrit dans Séries hypergéométriques multiples et polyzêtas », preprint http://www.math.u-psud.fr/~fischler/algo.html.

[12] -, « Phénomènes de symétrie dans des formes linéaires en polyzêtas », J. reine angew. Math. 617 (2008), preprint arXiv :math.NT/0609744. | Zbl

[13] J. Ecalle - « ARI/GARI, la dimorphie et l'arithmétique des multizêtas : un premier bilan », J. Théor. Nombres Bordeaux 15 (2003), p. 411-478. | Numdam | MR | Zbl

[14] O. Espinosa & V. H. Moll - « The evaluation of Tornheim double sums. I », J. Number Theory 116 (2006), p. 200-229. | MR | Zbl

[15] S. Fischler - « Multiple series connected to Hoffman's conjecture on multiple zeta values », J. of Algebra, à paraître. | MR | Zbl

[16] S. Fischler - « Groupes de Rhin-Viola et intégrales multiples », J. Théor. Nombres Bordeaux 15 (2003), p. 479-534. | Numdam | MR | Zbl

[17] -, « Irrationalité de valeurs de zêta (d’après Apéry, Rivoal, $\dots$ ) », Astérisque 294 (2004), p. 27-62. | Numdam | Zbl

[18] S. Fischler & T. Rivoal - « Approximants de Padé et séries hypergéométriques équilibrées », J. Math. Pures Appl. (9) 82 (2003), p. 1369-1394. | MR | Zbl

[19] A. B. Goncharov - « Multiple polylogarithms and mixed Tate motives », 2001.

[20] A. B. Goncharov & Y. I. Manin - « Multiple $ζ$ -motives and moduli spaces ${\bar{ℳ}}_{0, n}$ », Compos. Math. 140 (2004), p. 1-14. | MR | Zbl

[21] M. Hata - « A note on Beukers' integral », J. Austral. Math. Soc. Ser.A 58 (1995), p. 143-153. | MR | Zbl

[22] M. Hata - « A new irrationality measure for $ζ (3)$ », Acta Arith. 92 (2000), p. 47-57. | MR | Zbl

[23] C. Krattenthaler & T. Rivoal - « Hypergéométrie et fonction zêta de Riemann », in Mem. Amer. Math. Soc., vol. 186, 2007. | MR | Zbl

[24] -, « An identity of Andrews, multiple integrals, and very-well-poised hypergeometric series », Ramanujan J. 13 (2007), p. 203-219. | MR | Zbl

[25] L. Lewin - Polylogarithms and associated functions, North-Holland Publishing Co., 1981, With a foreword by A. J. Van der Poorten. | MR | Zbl

[26] H. N. Minh, M. Petitot & J. Van Der Hoeven - « Shuffle algebra and polylogarithms », Discrete Math. 225 (2000), p. 217-230, Formal power series and algebraic combinatorics (Toronto, ON, 1998). | MR | Zbl

[27] Y. V. Nesterenko - « A few remarks on $ζ (3)$ (en russe) », Mat. Zametki 59 (1996), p. 865-880, trad. anglaise Math. Notes 59 (1996), p.625-636. | MR | Zbl

[28] G. Racinet - « Séries génératrices non-commutatives de polyzêtas et associateurs de Drinfeld », Thèse, Université d'Amiens, 2000.

[29] G. Racinet - « Doubles mélanges des polylogarithmes multiples aux racines de l'unité », Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 95 (2002), p. 185-231. | Numdam | MR | Zbl

[30] C. Reutenauer - « Free Lie Algebras », in London Math. Soc. Monographs, new series, vol. 7, 1993. | MR | Zbl

[31] G. Rhin & C. Viola - « On a permutation group related to $ζ (2)$ », Acta Arith. 77 (1996), p. 23-56. | MR | Zbl

[32] -, « The group structure for $ζ (3)$ », Acta Arith. 97 (2001), p. 269-293. | MR | Zbl

[33] T. Rivoal - « La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 331 (2000), p. 267-270. | MR | Zbl

[34] L. J. Slater - Generalized hypergeometric functions, Cambridge University Press, 1966. | MR | Zbl

[35] V. N. Sorokin - « On the measure of transcendency of the number $π^{2}$ », Mat. Sb. 187 (1996), p. 87-120, trad. anglaise Sb. Math., 187 (1996), p.1819-1852. | MR | Zbl

[36] -, « Apéry's theorem », Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Mekh. 3 (1998), p. 48-52, trad. anglaise Moscow Univ. Math. Bull. 3 (1998), p.48-52.

[37] -, « On the linear independence of values of generalized polylogarithms », Mat. Sb. 192 (2001), p. 139-154, trad. anglaise Sb. Math. 192 (2001), p.1225-1239. | MR | Zbl

[38] H. M. Srivastava & P. W. Karlsson - Multiple Gaussian hypergeometric series, Ellis Horwood Series : Mathematics and its Applications, Ellis Horwood Ltd., 1985. | MR | Zbl

[39] T. Terasoma - « Mixed Tate motives and multiple zeta values », Invent. Math. 149 (2002), p. 339-369. | MR | Zbl

[40] E. A. Ulanskiĭ - « Identities for generalized polylogarithms », Mat. Zametki 73 (2003), p. 613-624, trad. anglaise Math. Notes 73 (2003), p.571-581. | MR | Zbl

[41] D. V. Vasilyev - « Approximations of zero by linear forms in values of the Riemann zeta-function (en russe) », Doklady Nat. Acad. Sci Belarus 45 (2001), p. 36-40, trad. anglaise « On small linear forms for the values of the Riemann zeta-function at odd points », prépublication no.1 (558), Nat. Acad. Sci. Belarus, Institute Math., Minsk (2001), 14p. | MR | Zbl

[42] M. Waldschmidt - « Valeurs zêta multiples. Une introduction », J. Théor. Nombres Bordeaux 12 (2000), p. 581-595, Colloque International de Théorie des Nombres (Talence, 1999). | Numdam | MR | Zbl

[43] M. Waldschmidt - « Twisted Hoffman algebras, Report 12/2003, Colloque Elementare und analytische Zahlentheorie, Oberwolfach », 2003.

[44] D. Zagier - « Values of zeta functions and their applications », in First European Congress of Mathematics, Vol. II (Paris, 1992), Progr. Math., vol. 120, Birkhäuser, 1994, p. 497-512. | MR | Zbl

[45] S. A. Zlobin - « Integrals that can be represented as linear forms of generalized polylogarithms », Mat. Zametki 71 (2002), p. 782-787, trad. anglaise Math. Notes 71 (2002), p.711-716. | MR | Zbl

[46] -, « Expansion of multiple integrals in linear forms », Mat. Zametki 77 (2005), p. 683-706, trad. anglaise Math. Notes 77 (2005), p.630-652. | MR | Zbl

[47] S. A. Zlobin - « Properties of coefficients of certain linear forms in generalized polylogarithms (en russe) », Fundamentalnaya i Prikladnaya Matematika 11 (2005), p. 41-58, arXiv :math.NT/0511245. | MR | Zbl

[48] W. Zudilin - « Well-poised hypergeometric service for Diophantine problems of zeta values », J. Théor. Nombres Bordeaux 15 (2003), p. 593-626. | Numdam | MR | Zbl

[49] -, « Arithmetic of linear forms involving odd zeta values », J. Théor. Nombres Bordeaux 16 (2004), p. 251-291. | Numdam | MR | Zbl

[50] -, « Well-poised hypergeometric transformations of Euler-type multiple integrals », J. London Math. Soc. (2) 70 (2004), p. 215-230. | MR | Zbl

Cité par Sources :