Calcul Moulien

Cresson, Jacky

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 18 (2009) no. 2, pp. 307-395.

Ce texte est une introduction au calcul moulien, développé par Jean Écalle. On donne une définition précise de la notion de moule ainsi que les principales propriétés de ces objets. On interprète les différentes symétries (alterna(e)l,symetra(e)l) des moules via les séries formelles non commutatives associées dans des bigèbres graduées notées $𝔸$ et $𝔼$, correspondant aux deux types de colois étudiées par Ecalle, à savoir $\Delta \left(a\right)=a\otimes 1+1\otimes a$ et ${\displaystyle {\Delta }_{*}\left(a_i\right)=\sum _{l+k=i}{a}_l\otimes a_k}$. On illustre en détail l’application de ce formalisme dans le domaine de la recherche des formes normales de champs de vecteurs et difféomorphismes.

This paper is an introduction to mould calculus, as introduced by Jean Écalle. We give a precise definition of moulds and describe their main properties. We translate mould symmetries (alterna(e)l and symetra(e)l) using non commutative formal power series in two given bialgebras $𝔸$ and $𝔼$, corresponding to two coproducts structure given by $\Delta \left(a\right)=a\otimes 1+1\otimes a$ and ${\displaystyle {\Delta }_{*}\left(a_i\right)=\sum _{l+k=i}{a}_l\otimes a_k}$. We apply this formalism to the problem of normal forms for vector fields and diffeomorphisms.

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