On meromorphic functions defined by a differential system of order $1$

Torrelli, Tristan

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 132 (2004) no. 4, pp. 591-612.

Étant donné un germe de fonction holomorphe $h$ défini au voisinage de l’origine de ${ℂ}^n$, nous étudions la condition : « l’idéal ${\text{Ann}}_{𝒟}1/h$ est engendré par des opérateurs d’ordre1 ». Nous obtenons ici des caractérisations complètes dans le cas des germes Koszul-libres et dans celui des germes de courbes planes non réduits. De plus, nous montrons que cette condition est vérifiée pour un type particulier d’arrangements d’hyperplans. Ces résultats nous permettent de relier cette condition à la comparaison de complexes de de Rham associés à $h$.

Given a germ $h$ of holomorphic function on $({ℂ}^n,0)$, we study the condition: “the ideal ${\text{Ann}}_{𝒟}1/h$ is generated by operators of order1”. We obtain here full characterizations in the particular cases of Koszul-free germs and unreduced germs of plane curves. Moreover, we prove that this condition holds for a special type of hyperplane arrangements. These results allow us to link this condition to the comparison of de Rham complexes associated with $h$.

Classification : 32C38, 32S25, 14F10, 14F40
Keywords: germs of meromorphic functions, $\mathcal {D}$-modules, free divisors, arrangements of hyperplanes, logarithmic de Rham complex, logarithmic comparison theorem
Mot clés : germes de fonctions méromorphes, $\mathcal {D}$-modules, diviseurs libres, arrangements d’hyperplans, complexe de de Rham logarithmique, théoréme de comparaison logarithmique

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