Platitude du module universel pour ${\mathrm{GL}}_3$ en caractéristique non banale

Bellaïche, Joël; Otwinowska, Ania

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 131 (2003) no. 4, pp. 507-525.

Soient $F$ un corps $p$-adique, $G={\mathrm{GL}}_3\left(F\right)$. Pour $\chi$ un caractère de l’algèbre de Hecke sphérique de $G$ sur un anneau commutatif $k$, on introduit à la suite de Serre une représentation lisse $M_{\chi }$ de $G$ sur $k$ qui gouverne la théorie des représentations non ramifiées de $G$ sur $k$. Nous prouvons que $M_{\chi }$ est plat sur $k$ et que si $p$ est inversible dans $k$, alors pour tout sous-groupe compact ouvert suffisament petit $U$ de $G$, le module $M_{\chi }^U$ est libre de rang fini sur $k$. Ceci était conjecturé par Lazarus. Comme corollaire, nous obtenons que si $k$ est un corps de caractéristique différente de $p$, $M_{\chi }$ a même semi-simplification que la série principale non ramifiée de caractère $\chi$, dont la structure est décrite par les travaux de Vignéras.

Let $F$ be a $p$-adic field, $G={\mathrm{GL}}_3\left(F\right)$, and $\chi$ a character of the spherical Hecke algebra over a commutative ring $k$. We introduce, following Serre, a smooth representation of $G$ over $k$ which is central for the theory of unramified representation of $G$ over $k$. We prove that $M_{\chi }$ is flat over $k$ for arbitrary $k$, and that if $p$ is invertible in $k$, that $M_{\chi }^U$ is free of finite rank over $k$ for $U$ small compact open subgroup of $G$. This was conjectured by Lazarus. As a corollary, we obtain that if $k$ is a field of characteristic different of $p$, $M_{\chi }$ has the same semi-simplification that the unramified principal serie with character $\chi$, whose structure is known thanks to Vignéras.

Classification : 20C12, 20C20
Mot clés : platitude, module universel, représentations modulaires, représentations non ramifiées, immeubles
Keywords: flatness, universal module, modular representation, unramified representation, buildings

[1] J. Bellaïche - « Congruences endoscopiques et représentations galoisiennes », Thèse, Université Paris Sud, 2002, disponible sur http://www.math.u-psud.fr/theses-orsay/2002/2395.html.

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