Deux composantes du bord de ${𝐈}_3$

Perrin, Nicolas

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 4, pp. 537-572.

Nous étudions deux nouvelles composantes irréductibles du bord de la variété ${𝐈}_3$ des instantons de degré 3. Nous décrivons ${𝐈}_3$ grâce aux transformations cubo-cubiques involutives déduites de la monade de Beilinson (ce sont des transformations de Cremona particulières). Nous exhibons alors les deux composantes du bord par dégénérescence sur les transformations. Nous mettons en évidence la dualité qui les lie : les transformations cubo-cubiques de l’une sont les inverses de l’autre. Nous décrivons en détail la géométrie associée et donnons ainsi des descriptions birationnelles de l’espace des modules des courbes de degré 7 et de genre 2 ainsi que des courbes de degré 9 et genre 6.

We study two new components of the boundary of ${𝐈}_3$ the variety of degree 3 mathematical instantons. We describe ${𝐈}_3$ thanks to the involutive cubo-cubic transformations induced by Beilinson’s monad (these are particular Cremona transformations). We then exhibit the two boundary components by making the transformations degenerate. We show that the two components are in duality : the cubo-cubic transforms of the first component are the inverse of those of the second one. We also describe in detail the associated geometry. In particular we give a birational description of the moduli space of genus 2 and degree 7 curves and of genus 6 and degree 9 curves.

Classification : 14D20
Mot clés : instantons, espaces de modules de faisceaux et de courbes, transformations birationnelles de l'espace projectif
Keywords: instantons, moduli spaces of sheaves and curves, birational tranformations of the projective space

[1] M. Atiyah - « Vector bundles over an elliptic curve », Proc. Lond. Math. Soc. (3) VII (1957), p. 414-452. | MR | Zbl

[2] W. Barth - « Moduli of vector bundles on the projective plane », Invent. Math. 42 (1977), p. 63-91. | MR | Zbl

[3] L. Bayle & A. Beauville - « Birational involutions of ${\partial }_2$. Kodaira’s issue », Asian J. Math. 4 (2000), no. 1, p. 11-17. | MR | Zbl

[4] E. Bertini - « Ricerche sulle transformazioni univoche involutorie nel piano », Annali di Mat. 8 (1877), p. 224-286. | JFM

[5] G. Ellingsrud & S. Strømme - « Stable rank-$2$ vector bundles on ${\partial }^3$ with $c_1=0$ and $c_2=3$ », Math. Ann. 255 (1981), p. 123-135. | MR | Zbl

[6] -, « On the Chow ring of a geometric quotient », Ann. of Math. 130 (1989), no. 1, p. 159-187. | MR | Zbl

[7] W. Fulton & J. Harris - Representation Theory, Graduate Text in Math., vol. 129, Springer Verlag, 1991. | MR | Zbl

[8] L. Gruson & C. Peskine - Courbes de l'espace projectif : variétés de sécantes, Enumerative Geometry and Classical Algebraic Geometry, Birkhäuser, Boston, Basel, Stuttgart, 1982. | Zbl

[9] L. Gruson & M. Skiti - « 3-instantons et réseaux de quadriques », Math. Ann. 298 (1994), p. 253-273. | MR | Zbl

[10] R. Hartshorne - Algebraic Geometry, Graduate Text in Math., vol. 52, Springer Verlag, 1977. | MR | Zbl

[11] -, « Stable Reflexives Sheaves », Math. Ann. 254 (1980), p. 121-176. | Zbl

[12] M. Narasimhan & G. Trautmann - « Compactification of ${𝐌}_{{\partial }^3}(0,2)$ and Poncelet pairs of conics », Pacific J. Math. 145 (1990), no. 2, p. 255-365. | MR | Zbl

[13] C. Okonek, M. Schneider & H. Spindler - Vector bundles on complex projective spaces, Progress in Math., Birkhäuser, Boston, Basel, Stuttgart, 1980. | MR | Zbl

[14] N. Perrin - « Courbes rationnelles sur les variétés homogènes », à paraître aux Ann. Inst. Fourier, 2002 ; prépublication : math.AG/0003199. | Numdam | Zbl

[15] -, « Lieu singulier des surfaces rationnelles », à paraître dans Math. Zeit., 2002 ; prépublication : math.AG/0101083.

[16] -, « Une composante du bord des instantons de degré $3$ », C. R. Acad. Sci. Paris, série I Math. 330 (2000), no. 3, p. 217-220. | MR | Zbl

[17] P. Rao - A family of vector bundles on ${\partial }^3$, Lecture Note in Math., vol. 1266, Springer Verlag, 1985. | Zbl

[18] M. Rosenlicht - « A remark on quotient spaces », Ann. Acad. Brasil. Ci. 35 (1963), p. 487-489. | MR | Zbl

[19] L. Roth & J. Semple - Introduction to Algebraic Geometry, Oxford Science Publications, 1949. | MR | Zbl

[20] R. Schwarzenberger - « Vector bundles on the projective plane », Proc. London Math. Soc. (3) 11 (1961), p. 623-640. | MR | Zbl

[21] M. Skiti - « Espace de module des fibrés vectoriels et groupe de Picard », en préparation.

[22] G. Trautmann - « Poncelet curves and associated theta characteristics », Exposition. Math. 6 (1988), no. 1, p. 29-64. | MR | Zbl

[23] J. Vallès - « Nombre maximal d'hyperplans instables pour un fibré de Steiner », Math. Zeit. 233 (2000), p. 507-514. | MR | Zbl