Outer automorphisms of classical algebraic groups

Quéguiner-Mathieu, Anne; Tignol, Jean-Pierre

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 51 (2018) no. 1, pp. 113-141.

À tout groupe algébrique absolument presque simple de type adjoint est associée une classe de cohomologie connue sous le nom de «classe de Tits»  qui donne une obstruction à l'existence d'automorphismes extérieurs. Si le groupe est de type intérieur, il n'y a pas d'autre obstruction. Dans ce travail, nous montrons qu'il n'en va pas de même pour les groupes classiques de type extérieur, sauf pour les groupes de type ${}^2{𝖠}_n$ avec $n$ pair ou $n=5$. Plus précisément, nous établissons pour les algèbres à involution unitaire de degré 6 et d'exposant 2 un théorème de descente qui montre que les groupes d'automorphismes de ces algèbres ont des automorphismes extérieurs. Pour les types ${}^2{𝖠}_n$ avec $n$ impair, $n\ge 3$, et les types ${}^2{𝖣}_n$, nous construisons des exemples explicites où l'obstruction donnée par la classe de Tits est nulle alors que le groupe ne possède pas d'automorphisme extérieur. Un outil crucial de nos constructions est la somme «générique» d'algèbres à involution.

The so-called Tits class associated to an adjoint absolutely almost simple algebraic group provides a cohomological obstruction for this group to admit an outer automorphism. If the group has inner type, this obstruction is the only one. In this paper, we prove this is not the case for classical groups of outer type, except for groups of type ${}^2{𝖠}_n$ with $n$ even, or $n=5$. More precisely, we prove a descent theorem for exponent 2 and degree 6 algebras with unitary involution, which shows that their automorphism groups have outer automorphisms. In all other relevant classical types, namely ${}^2{𝖠}_n$ with $n$ odd, $n\ge 3$ and ${}^2{𝖣}_n$, we provide explicit examples where the Tits class obstruction vanishes, and yet the group does not have outer automorphisms. As a crucial tool, we use “generic” sums of algebras with involution.

Classification : 20G15; 11E57
Keywords: Linear algebraic group, outer automorphism, hermitian form, involution.
Mot clés : Groupe algébrique linéaire, automorphisme extérieur, forme hermitienne, involution.

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