Small gaps in the spectrum of the rectangular billiard

Blomer, Valentin; Bourgain, Jean; Radziwiłł, Maksym; Rudnick, Zeév

doi:10.24033/asens.2345

Small gaps in the spectrum of the rectangular billiard
[Petits espacements dans le spectre d'un billard rectangulaire]

Blomer, Valentin ; Bourgain, Jean ; Radziwiłł, Maksym ; Rudnick, Zeév

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 50 (2017) no. 5, pp. 1283-1300.

Résumé
Abstract

On étudie l'écart minimal dans les $N$ premières valeurs propres du Laplacien d'un billard rectangulaire dont le rapport des côtés est égal à $1 / \sqrt{α}$ . On compare nos résultats avec l'écart minimal des points provenant d'une suite aléatoire poissonienne. Pour $α$ un irrationnel quadratique d'un certain type, par exemple la racine d'un nombre rationnel, nous démontrons que l'écart minimal est approximativement de taille $1 / N$ . Cela est en accord avec les statistiques poissoniennes. Nous démontrons aussi un phénomène semblable pour presque tout $α$ au sens de la mesure de Lebesgue. Cependant, à une échelle fine, de taille $1 / N$ , nous démontrons que l'écart minimal entre les valeurs propres et celui d'une suite poissonienne ont un comportement différent. Les démonstrations utilisent plusieurs résultats d'origine arithmétique, tels que l'approximation diophantienne, la théorie des fractions continues, et des résultats provenant de la théorie analytique des nombres.

We study the size of the minimal gap between the first $N$ eigenvalues of the Laplacian on a rectangular billiard having irrational squared aspect ratio $α$ , in comparison to the corresponding quantity for a Poissonian sequence. If $α$ is a quadratic irrationality of certain type, such as the square root of a rational number, we show that the minimal gap is roughly of size $1 / N$ , which is essentially consistent with Poisson statistics. We also give related results for a set of $α$ 's of full measure. However, on a fine scale we show that Poisson statistics is violated for all $α$ . The proofs use a variety of ideas of an arithmetical nature, involving Diophantine approximation, the theory of continued fractions, and results in analytic number theory.

MR Zbl

DOI : 10.24033/asens.2345

Classification : 35P20, 11E16; 11J04, 11B39, 11L07.
Keywords: rectangular billard, Poisson statistics, small gaps, diophantine approximation, divisibility sequence, Chebyshev polynomials, Dirichlet polynomials, Riemann zeta-function.
Mot clés : Billard rectangulaire, statistiques poissoniennes, petits espacements, approximation diophantienne, séquence de divisibilité, polynôme de Tchebychev, polynôme de Dirichlet, fonction zêta de Riemann.

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Blomer, Valentin; Bourgain, Jean; Radziwiłł, Maksym; Rudnick, Zeév. Small gaps in the spectrum of the rectangular billiard. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 50 (2017) no. 5, pp. 1283-1300. doi : 10.24033/asens.2345. http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2345/

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