O-minimality on twisted universal torsors and Manin's conjecture over number fields

Frei, Christopher; Pieropan, Marta

doi:10.24033/asens.2295

O-minimality on twisted universal torsors and Manin's conjecture over number fields
[O-minimalité sur torseurs universels tordus et conjecture de Manin sur corps de nombres]

Frei, Christopher ; Pieropan, Marta

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 49 (2016) no. 4, pp. 757-811.

Résumé
Abstract

La conjecture de Manin prédit la répartition des points rationnels sur les variétés de Fano. Elle a été vérifiée pour plusieurs variétés sur $ℚ$ , en particulier certaines surfaces de del Pezzo, en utilisant des paramétrisations explicites des points rationnels par des points entiers sur des torseurs universels et des techniques de comptage de points de réseaux. On montre comment on peut appliquer cette méthode sur les corps de nombres quelconques, en démontrant la conjecture de Manin pour une surface de del Pezzo singulière de degré quatre et de type $𝐀_{3} + 𝐀_{1}$ . La paramétrisation est présentée d'un point de vue général qui utilise des modèles entiers tordus de torseurs universels. Pour rendre possible le comptage sur les corps de nombres, on dévie de la procédure usuelle sur $ℚ$ en mettant l'accent sur la géométrie des nombres dans le cadre des structures o-minimales.

Manin's conjecture predicts the distribution of rational points on Fano varieties. Using explicit parameterizations of rational points by integral points on universal torsors and lattice-point-counting techniques, it was proved for several specific varieties over $ℚ$ , in particular del Pezzo surfaces. We show how this method can be implemented over arbitrary number fields, by proving Manin's conjecture for a singular quartic del Pezzo surface of type $𝐀_{3} + 𝐀_{1}$ . The parameterization step is treated in high generality with the help of twisted integral models of universal torsors. To make the counting step feasible over arbitrary number fields, we deviate from the usual approach over $ℚ$ by placing higher emphasis on the geometry of numbers in the framework of o-minimal structures.

Publié le : 2016-11-12

MR Zbl

DOI : 10.24033/asens.2295

Classification : 11D45; 14G05.
Keywords: Rational points, Manin's conjecture, o-minimality, universal torsor.
Mot clés : Points rationnels, conjecture de Manin, o-minimalité, torseur universel.

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Frei, Christopher; Pieropan, Marta. O-minimality on twisted universal torsors and Manin's conjecture over number fields. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 49 (2016) no. 4, pp. 757-811. doi : 10.24033/asens.2295. http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2295/

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