Block decomposition of the category of $\ell $-modular smooth representations of $\mathrm {GL}_{n}(\mathrm {F})$ and its inner forms

Sécherre, Vincent; Stevens, Shaun

doi:10.24033/asens.2293

Block decomposition of the category of

ℓ

-modular smooth representations of

{GL}_{n} (F)

and its inner forms
[Décomposition en blocs de la catégorie des représentations lisses

ℓ

-modulaires de GL(N,F) et de ses formes intérieures]

Sécherre, Vincent ; Stevens, Shaun

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 49 (2016) no. 3, pp. 669-709.

Résumé
Abstract

Soit $F$ un corps commutatif localement compact non archimédien de caractéristique résiduelle $p$ , soit $D$ une $F$ -algèbre à division centrale de dimension finie et soit $R$ un corps algébriquement clos de caractéristique différente de $p$ . A toute représentation lisse irréductible du groupe $G = {GL}_{m} (D)$ , $m 1$ à coefficients dans $R$ correspond une classe d'inertie de paires supercuspidales de $G$ . Ceci définit une partition de l'ensemble des classes d'isomorphisme de représentations irréductibles de $G$ . Notons $ℛ (G)$ la catégorie des représentations lisses de $G$ à coefficients dans $R$ et, pour toute classe d'inertie $Ω$ de paires supercuspidales de $G$ , notons $ℛ (Ω)$ la sous-catégorie formée des représentations lisses dont tous les sous-quotients irréductibles appartiennent au sous-ensemble déterminé par cette classe d'inertie. Nous prouvons que $ℛ (G)$ est le produit des $ℛ (Ω)$ , où $Ω$ décrit les classes d'inertie de paires supercuspidales de $G$ , et que chaque facteur $ℛ (Ω)$ est indécomposable.

Let $F$ be a nonarchimedean locally compact field of residue characteristic $p$ , let $D$ be a finite dimensional central division $F$ -algebra and let $R$ be an algebraically closed field of characteristic different from $p$ . To any irreducible smooth representation of $G = {GL}_{m} (D)$ , $m 1$ with coefficients in $R$ , we can attach a uniquely determined inertial class of supercuspidal pairs of $G$ . This provides us with a partition of the set of all isomorphism classes of irreducible representations of $G$ . We write $ℛ (G)$ for the category of all smooth representations of $G$ with coefficients in $R$ . To any inertial class $Ω$ of supercuspidal pairs of $G$ , we can attach the subcategory $ℛ (Ω)$ made of smooth representations all of whose irreducible subquotients are in the subset determined by this inertial class. We prove that the category $ℛ (G)$ decomposes into the product of the $ℛ (Ω)$ 's, where $Ω$ ranges over all possible inertial class of supercuspidal pairs of $G$ , and that each summand $ℛ (Ω)$ is indecomposable.

Publié le : 2016-11-12

Zbl

DOI : 10.24033/asens.2293

Classification : 22E50.
Keywords: Modular representations of $p$-adic reductive groups, semisimple types, Inertial classes, supercuspidal support, blocks.
Mot clés : Représentations modulaires des groupes réductifs $p$-adiques, types semi-simples, classes inertielles, support supercuspidal, blocs.

@article{ASENS_2016__49_3_669_0,
     author = {S\'echerre, Vincent and Stevens, Shaun},
     title = {Block decomposition of the category of~$\ell $-modular smooth representations of~$\mathrm {GL}_{n}(\mathrm {F})$ and its inner forms},
     journal = {Annales scientifiques de l'\'Ecole Normale Sup\'erieure},
     pages = {669--709},
     publisher = {Soci\'et\'e Math\'ematique de France. Tous droits r\'eserv\'es},
     volume = {Ser. 4, 49},
     number = {3},
     year = {2016},
     doi = {10.24033/asens.2293},
     zbl = {1346.22009},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2293/}
}

TY  - JOUR
AU  - Sécherre, Vincent
AU  - Stevens, Shaun
TI  - Block decomposition of the category of $\ell $-modular smooth representations of $\mathrm {GL}_{n}(\mathrm {F})$ and its inner forms
JO  - Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure
PY  - 2016
SP  - 669
EP  - 709
VL  - 49
IS  - 3
PB  - Société Mathématique de France. Tous droits réservés
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2293/
DO  - 10.24033/asens.2293
LA  - en
ID  - ASENS_2016__49_3_669_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Sécherre, Vincent
%A Stevens, Shaun
%T Block decomposition of the category of $\ell $-modular smooth representations of $\mathrm {GL}_{n}(\mathrm {F})$ and its inner forms
%J Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure
%D 2016
%P 669-709
%V 49
%N 3
%I Société Mathématique de France. Tous droits réservés
%U http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2293/
%R 10.24033/asens.2293
%G en
%F ASENS_2016__49_3_669_0

Sécherre, Vincent; Stevens, Shaun. Block decomposition of the category of $\ell $-modular smooth representations of $\mathrm {GL}_{n}(\mathrm {F})$ and its inner forms. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 49 (2016) no. 3, pp. 669-709. doi : 10.24033/asens.2293. http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2293/

Bibliographie
Cité par

Bernstein, J. N., Representations of reductive groups over a local field (Travaux en Cours), Hermann, Paris, 1984, pp. 1-32 | MR | Zbl

Bushnell, C. J.; Henniart, G. Local tame lifting for $GL (N)$ . I. Simple characters, Publ. Math. IHÉS, Volume 83 (1996), pp. 105-233 (ISSN: 0073-8301) | DOI | Numdam | MR | Zbl

Bushnell, C. J.; Kutzko, P. C. Types in reductive $p$ -adic groups: the Hecke algebra of a cover, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 129 (2001), pp. 601-607 (ISSN: 0002-9939) | DOI | MR | Zbl

Bushnell, C. J.; Kutzko, P. C., Annals of Math. Studies, 129, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1993, 313 pages (ISBN: 0-691-03256-4; 0-691-02114-7) | MR | Zbl

Bushnell, C. J.; Kutzko, P. C. Smooth representations of reductive $p$ -adic groups: structure theory via types, Proc. London Math. Soc., Volume 77 (1998), pp. 582-634 (ISSN: 0024-6115) | DOI | MR | Zbl

Bushnell, C. J.; Kutzko, P. C. Semisimple types in ${GL}_{n}$ , Compos. Math., Volume 119 (1999), pp. 53-97 (ISSN: 0010-437X) | DOI | MR | Zbl

Blondel, C. Quelques propriétés des paires couvrantes, Math. Ann., Volume 331 (2005), pp. 243-257 (ISSN: 0025-5831) | DOI | MR | Zbl

Broussous, P.; Sécherre, V.; Stevens, S. Smooth representations of ${GL}_{m} (D)$ V: Endo-classes, Doc. Math., Volume 17 (2012), pp. 23-77 (ISSN: 1431-0635) | DOI | MR | Zbl

Dat, J.-F. Théorie de Lubin-Tate non Abélienne $ℓ$ -entière, Duke Math. J., Volume 161 (2012), pp. 951-1010 (ISSN: 0012-7094) | DOI | MR | Zbl

Emerton, M.; Helm, D. The local Langlands correspondence for ${GL}_{n}$ in families, Ann. Sci. Éc. Norm. Sup., Volume 47 (2014), pp. 655-722 (ISSN: 0012-9593) | DOI | Numdam | MR | Zbl

Guiraud, D.-A. On semisimple $ℓ$ -modular Bernstein-blocks of a $p$ -adic general linear group, J. Number Theory, Volume 133 (2013), pp. 3524-3548 (ISSN: 0022-314X) | DOI | MR | Zbl

Helm, D. The Bernstein center of the category of smooth $W (k) [{GL}_{n} (F)]$ -modules (preprint arXiv:1201.1874 )

Hiss, G. Supercuspidal representations of finite reductive groups, J. Algebra, Volume 184 (1996), pp. 839-851 (ISSN: 0021-8693) | DOI | MR | Zbl

James, G. The irreducible representations of the finite general linear groups, Proc. London Math. Soc., Volume 52 (1986), pp. 236-268 (ISSN: 0024-6115) | DOI | MR | Zbl

Mínguez, A.; Sécherre, V. Représentations lisses modulo $ℓ$ de ${GL}_{m} (D)$ , Duke Math. J., Volume 163 (2014), pp. 795-887 (ISSN: 0012-7094) | DOI | MR | Zbl

Mínguez, A.; Sécherre, V. Types modulo $ℓ$ pour les formes intérieures de ${GL}_{n}$ sur un corps local non archimédien, Proc. Lond. Math. Soc., Volume 109 (2014), pp. 823-891 (ISSN: 0024-6115) | DOI | MR | Zbl

Sécherre, V. Représentations lisses de $GL (m, D)$ . I. Caractères simples, Bull. Soc. Math. France, Volume 132 (2004), pp. 327-396 (ISSN: 0037-9484) | DOI | Numdam | MR | Zbl

Sécherre, V. Représentations lisses de $GL (m, D)$ . II. $β$ -extensions, Compos. Math., Volume 141 (2005), pp. 1531-1550 (ISSN: 0010-437X) | DOI | MR | Zbl

Sécherre, V. Représentations lisses de ${GL}_{m} (D)$ . III. Types simples, Ann. Sci. Éc. Norm. Sup., Volume 38 (2005), pp. 951-977 (ISSN: 0012-9593) | DOI | Numdam | MR | Zbl

Sécherre, V.; Stevens, S. Représentations lisses de ${GL}_{m} (D)$ . IV. Représentations supercuspidales, J. Inst. Math. Jussieu, Volume 7 (2008), pp. 527-574 (ISSN: 1474-7480) | DOI | MR | Zbl

Sécherre, V.; Stevens, S. Smooth representations of ${GL}_{m} (D)$ , VI: Semisimple types, Int. Math. Res. Not., Volume 2012 (2012), pp. 2994-3039 | DOI | Zbl

Schneider, P.; Zink, E.-W. $K$ -types for the tempered components of a $p$ -adic general linear group, J. reine angew. Math., Volume 517 (1999), pp. 161-208 (with an appendix by P. Schneider and U. Stuhler) (ISSN: 0075-4102) | DOI | MR | Zbl

Vignéras, M.-F., Progress in Math., 137, Birkhäuser, 1996 (ISBN: 0-8176-3929-2) | MR | Zbl

Vignéras, M.-F. Induced $R$ -representations of $p$ -adic reductive groups, Selecta Math. (N.S.), Volume 4 (1998), pp. 549-623 (with an appendix by Alberto Arabia) (ISSN: 1022-1824) | DOI | MR | Zbl

Cité par Sources :