Solution algebras of differential equations and quasi-homogeneous varieties: a new differential Galois correspondence
[Algèbres de solutions d'équations différentielles et variétés quasi-homogènes : une nouvelle correspondance de Galois différentielle]
Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 47 (2014) no. 2, pp. 449-467.

Nous tissons un lien nouveau entre algèbre différentielle et théorie géométrique des invariants, basé sur une anti-équivalence de catégories entre algèbres de solutions associées à une équation différentielle linéaire (i.e., algèbres différentielles engendrées par un nombre fini d'expressions polynomiales en les solutions), et variétés quasi-homogènes affines sur le corps de constantes, pour l'action du groupe de Galois différentiel de l'équation.

On peut associer des algèbres de solutions à toute connexion sur une base affine lisse. Il s'avère que leurs spectres sont toujours des fibrés algébriques sur la base, de fibre quasi-homogène. Nous soulignons le rôle de ce résultat en théorie des nombres transcendants.

We develop a new connection between Differential Algebra and Geometric Invariant Theory, based on an anti-equivalence of categories between solution algebras associated to a linear differential equation (i.e., differential algebras generated by finitely many polynomials in a fundamental set of solutions), and affine quasi-homogeneous varieties (over the constant field) for the differential Galois group of the equation.

Solution algebras can be associated to any connection over a smooth affine variety. It turns out that the spectrum of a solution algebra is an algebraic fiber space over the base variety, with quasi-homogeneous fiber. We discuss the relevance of this result to Transcendental Number Theory.

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DOI : 10.24033/asens.2218
Classification : 12H05, 14M17, 14L24, 11J81.
Keywords: solution algebra, differential algebra, differential Galois group, observable subgroup, geometric invariant theory, quasi-homogeneous variety, $E$-function, transcendence.
Mot clés : Algèbre de solutions, algèbre différentielle, groupe de Galois différentiel, sous-groupe observable, théorie géométrique des invariants, variété quasi-homogène, E-fonction, transcendance. 
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