La réalisation étale  et les opérations de Grothendieck

Ayoub, Joseph

doi:10.24033/asens.2210

La réalisation étale et les opérations de Grothendieck

Ayoub, Joseph

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 47 (2014) no. 1, pp. 1-145.

Résumé
Abstract

Dans cet article, nous construisons des foncteurs de réalisation étale définis sur les catégories ${𝐃𝐀}^{\overset{´}{e} t} (X, Λ)$ des motifs étales (sans transferts) au-dessus d'un schéma $X$ . Notre construction est naturelle et repose sur un théorème de rigidité relatif à la Suslin-Voevodsky que nous devons établir au préalable. Nous montrons ensuite que ces foncteurs sont compatibles aux opérations de Grothendieck et aux foncteurs « cycles proches ». Au passage, nous démontrons un certain nombre de propriétés concernant les motifs étales.

In this article, we construct étale realization functors defined on the categories ${𝐃𝐀}^{\overset{´}{e} t} (X, Λ)$ of étale motives (without transfers) over a scheme $X$ . Our construction is natural and relies on a relative rigidity theorem à la Suslin-Voevodsky that we will establish first. Then, we show that these realization functors are compatible with Grothendieck operations and the “nearby cycles” functors. Along the way, we prove a number of properties concerning étale motives.

Publié le : 2014-09-16

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DOI : 10.24033/asens.2210

Classification : 13D09, 14F05, 14F20, 14F42, 19D99.
Mot clés : Motif, cohomologie étale, réalisation étale, six opérations de Grothendieck, formalisme des cycles proches.
Keywords: Motive, étale cohomology, étale realization, Grothendieck six operations, nearby cycles formalism.

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Ayoub, Joseph. La réalisation étale  et les opérations de Grothendieck. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 47 (2014) no. 1, pp. 1-145. doi : 10.24033/asens.2210. http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2210/

Bibliographie
Cité par

Artin, M.; Grothendieck, A.; Verdier, J.-L. Théorie des topos et cohomologie étale des schémas, tome 1, Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1963-1964 (Lecture Notes in Math.), Volume 269, Springer (1972) | Zbl

Artin, M.; Grothendieck, A.; Verdier, J.-L. Théorie des topos et cohomologie étale des schémas, tome 2, Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1963-1964 (Lecture Notes in Math.), Volume 270, Springer (1972) | MR | Zbl

Artin, M.; Grothendieck, A.; Verdier, J.-L. Théorie des topos et cohomologie étale des schémas, tome 3, Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1963-1964 (Lecture Notes in Math.), Volume 305, Springer (1973) | MR | Zbl

Ayoub, J. Les six opérations de Grothendieck et le formalisme des cycles évanescents dans le monde motivique. I, Astérisque, Volume 314 (2007) (ISBN: 978-2-85629-244-0, ISSN: 0303-1179) | Numdam | MR | Zbl

Ayoub, J. Les six opérations de Grothendieck et le formalisme des cycles évanescents dans le monde motivique. II, Astérisque, Volume 315 (2007) (ISBN: 978-2-85629-245-7, ISSN: 0303-1179) | Numdam | MR | Zbl

Ayoub, J. Motifs de variétés analytiques rigides (2008) (preprint http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0907/MotVarRig.pdf )

Ayoub, J. L'Algèbre de Hopf et le groupe de Galois motiviques d'un corps de caractéristique nulle, I (2010) (à paraître dans Crelle's Journal, preprint http://user.math.uzh.ch/ayoub/PDF-Files/GaloisMotivic-1.pdf ) | Zbl

Ayoub, J. Note sur les opérations de Grothendieck et la réalisation de Betti, J. Inst. Math. Jussieu, Volume 9 (2010), pp. 225-263 (ISSN: 1474-7480) | DOI | MR | Zbl

Balmer, P.; Schlichting, M. Idempotent completion of triangulated categories, J. Algebra, Volume 236 (2001), pp. 819-834 (ISSN: 0021-8693) | DOI | MR | Zbl

Cazanave, C. Algebraic homotopy classes of rational functions, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 45 (2012), pp. 511-534 (ISSN: 0012-9593) | DOI | Numdam | MR | Zbl

Cisinski, D.-C.; Déglise, F. Triangulated categories of mixed motives (preprint arXiv:0912.2110 )

de Jong, A. J. Smoothness, semi-stability and alterations, Publ. Math. I.H.É.S., Volume 83 (1996), pp. 51-93 (ISSN: 0073-8301) | DOI | Numdam | MR | Zbl

Deligne, P.; Katz, N. Groupes de monodromie en géométrie algébrique. II, Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1967-1969 (Lecture Notes in Math.), Volume 340, Springer (1973) | MR | Zbl

Ekedahl, T., The Grothendieck Festschrift, Vol. II (Progr. Math.), Volume 87, Birkhäuser, 1990, pp. 197-218 | MR | Zbl

Gabber, O. Finiteness theorems for étale cohomology of excellent schemes (2005) (lecture notes, http://www.math.polytechnique.fr/~laszlo/gdtgabber/abelien.pdf )

Goerss, P. G.; Jardine, J. F., Progress in Math., 174, Birkhäuser, 1999, 510 pages (ISBN: 3-7643-6064-X) | DOI | MR | Zbl

Grayson, D. Higher algebraic $K$ -theory. II (after Daniel Quillen), Algebraic $K$ -theory (Proc. Conf., Northwestern Univ., Evanston, Ill., 1976) (Lecture Notes in Math.), Volume 551, Springer (1976), pp. 217-240 | MR | Zbl

Grothendieck, A.; Raynaud, M.; Rim, D.-S. Groupes de monodromie en géométrie algébrique, tome 1, Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1967-1969 (Lecture Notes in Math.), Volume 288, Springer (1973) | Zbl

Gepner, D.; Snaith, V. On the motivic spectra representing algebraic cobordism and algebraic $K$ -theory, Doc. Math., Volume 14 (2009), pp. 359-396 (ISSN: 1431-0635) | DOI | MR | Zbl

Hironaka, H. Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero. I, II, Ann. of Math., Volume 79 (1964) (ISSN: 0003-486X) | MR | Zbl

Hovey, M. Spectra and symmetric spectra in general model categories, J. Pure Appl. Algebra, Volume 165 (2001), pp. 63-127 (ISSN: 0022-4049) | DOI | MR | Zbl

Hovey, M.; Shipley, B.; Smith, J. Symmetric spectra, J. Amer. Math. Soc., Volume 13 (2000), pp. 149-208 (ISSN: 0894-0347) | DOI | MR | Zbl

Huber, A. Realization of Voevodsky's motives, J. Algebraic Geom., Volume 9 (2000), pp. 755-799 (ISSN: 1056-3911) | MR | Zbl

Huber, A. Corrigendum to: “Realization of Voevodsky's motives” [J. Algebraic Geom. 9 (2000), 755–799], J. Algebraic Geom., Volume 13 (2004), pp. 195-207 (ISSN: 1056-3911) | DOI | MR | Zbl

Illusie, L.; Laszlo, Y.; Orgogozo, F. Séminaire à l'École polytechnique (preprint arXiv:1207.3648, à paraître dans Astérisque ) | Numdam | MR | Zbl

Ivorra, F. Réalisation $l$ -adique des motifs triangulés géométriques. I, Doc. Math., Volume 12 (2007), pp. 607-671 (ISSN: 1431-0635) | MR | Zbl

Jardine, J. F. Motivic symmetric spectra, Doc. Math., Volume 5 (2000), pp. 445-553 (ISSN: 1431-0635) | DOI | MR | Zbl

Jardine, J. F. Presheaves of chain complexes, $K$ -Theory, Volume 30 (2003), pp. 365-420 (ISSN: 0920-3036) | DOI | MR | Zbl

Levine, M. Motivic tubular neighborhoods, Doc. Math., Volume 12 (2007), pp. 71-146 (ISSN: 1431-0635) | DOI | MR | Zbl

Morel, F., Contemporary developments in algebraic $K$ -theory (ICTP Lect. Notes, XV), Abdus Salam Int. Cent. Theoret. Phys., Trieste, 2004, pp. 357-441 | MR | Zbl

Morel, F., Axiomatic, enriched and motivic homotopy theory (NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem.), Volume 131, Kluwer Acad. Publ., 2004, pp. 219-260 | DOI | MR | Zbl

Morel, F. The stable $𝔸^{1}$ -connectivity theorems, $K$ -Theory, Volume 35 (2005), pp. 1-68 (ISSN: 0920-3036) | DOI | MR | Zbl

Morel, F. Rational stable splitting of Grassmannians and the rational motivic sphere spectrum (2006) (preprint)

Morel, F., Lecture Notes in Math., 2052, Springer, 2012, 259 pages (ISBN: 978-3-642-29513-3) | DOI | MR | Zbl

Morel, F.; Voevodsky, V. $𝐀^{1}$ -homotopy theory of schemes, Publ. Math. I.H.É.S., Volume 90 (1999), pp. 45-143 (ISSN: 0073-8301) | DOI | Numdam | MR | Zbl

Mazza, C.; Voevodsky, V.; Weibel, C. A., Clay Mathematics Monographs, 2, Amer. Math. Soc., 2006, 216 pages (ISBN: 978-0-8218-3847-1; 0-8218-3847-4) | MR | Zbl

Quillen, D. Higher algebraic $K$ -theory. I, Algebraic $K$ -theory, I: Higher $K$ -theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972) (Lecture Notes in Math.), Volume 341, Springer (1973), pp. 85-147 | MR | Zbl

Riou, J. Dualité de Spanier-Whitehead en géométrie algébrique, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 340 (2005), pp. 431-436 (ISSN: 1631-073X) | DOI | MR | Zbl

Riou, J. Algebraic $K$ -theory, $𝐀^{1}$ -homotopy and Riemann-Roch theorems, J. Topol., Volume 3 (2010), pp. 229-264 (ISSN: 1753-8416) | DOI | MR | Zbl

Röndigs, O.; Østvær, P. A. Motives and modules over motivic cohomology, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 342 (2006), pp. 751-754 (ISSN: 1631-073X) | DOI | MR | Zbl

Röndigs, O.; Østvær, P. A. Modules over motivic cohomology, Adv. Math., Volume 219 (2008), pp. 689-727 (ISSN: 0001-8708) | DOI | MR | Zbl

Röndigs, O.; Østvær, P. A. Rigidity in motivic homotopy theory, Math. Ann., Volume 341 (2008), pp. 651-675 (ISSN: 0025-5831) | DOI | MR | Zbl

Serre, J.-P., Lecture Notes in Math., 5, Springer, 1994, 181 pages (ISBN: 3-540-58002-6) | MR | Zbl

Suzuki, M., Grund. Math. Wiss., 247, Springer, 1982, 434 pages (ISBN: 3-540-10915-3) | MR | Zbl

Suslin, A.; Voevodsky, V. Singular homology of abstract algebraic varieties, Invent. Math., Volume 123 (1996), pp. 61-94 (ISSN: 0020-9910) | DOI | MR | Zbl

Spitzweck, M.; Østvær, P. A. The Bott inverted infinite projective space is homotopy algebraic $K$ -theory, Bull. Lond. Math. Soc., Volume 41 (2009), pp. 281-292 (ISSN: 0024-6093) | DOI | MR | Zbl

Thomason, R. W.; Trobaugh, T., The Grothendieck Festschrift, Vol. III (Progr. Math.), Volume 88, Birkhäuser, 1990, pp. 247-435 | DOI | MR | Zbl

Voevodsky, V., Cycles, transfers, and motivic homology theories (Ann. of Math. Stud.), Volume 143, Princeton Univ. Press, 2000, pp. 188-238 | MR | Zbl

Voevodsky, V. Cancellation theorem, Doc. Math., Volume Suslin volume (2010), pp. 671-685 (ISSN: 1431-0635) | MR | Zbl

Voevodsky, V. $𝐀^{1}$ -homotopy theory, Doc. Math. (Proceedings of the International Congress of Mathematicians) (1998), pp. 579-604 (ISSN: 1431-0635) | MR | Zbl

Weibel, C. A., Graduate Studies in Math., 145, Amer. Math. Soc., 2013, 618 pages (ISBN: 978-0-8218-9132-2) | MR | Zbl

Weibel, C. A., Cambridge Studies in Advanced Math., 38, Cambridge Univ. Press, 1994, 450 pages (ISBN: 0-521-43500-5; 0-521-55987-1) | MR | Zbl

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