Inégalités de Korn non linéaires dans $ {\mathbb{R}}^{n}$, avec ou sans conditions aux limites

Ciarlet, Philippe G.; Mardare, Cristinel

doi:10.1016/j.crma.2015.03.004

Problèmes mathématiques de la mécanique

Inégalités de Korn non linéaires dans

R^{n}

, avec ou sans conditions aux limites

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Ciarlet, Philippe G.¹ ; Mardare, Cristinel ^2,³

¹ Department of Mathematics, City University of Hong Kong, 83 Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong
² Sorbonne Universités, Université Pierre-et-Marie-Curie, Laboratoire Jacques-Louis-Lions, 75005 Paris, France
³ CNRS, UMR 7598, Laboratoire Jacques-Louis-Lions, 75005 Paris, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 353 (2015) no. 6, pp. 563-568.

Résumé
Abstract

Soit Ω un ouvert borné de $R^{n}$ à frontière lipschitzienne. Étant donné deux immersions $Φ : \bar{Ω} \to R^{n}$ et $Θ : \bar{Ω} \to R^{n}$ suffisamment régulières et de même orientation, on établit plusieurs inégalités de Korn non linéaires montrant que, pour tout $1 < p < \infty$ , la norme ${‖ Φ - Θ ‖}_{W^{1, p} (Ω)}$ peut être majorée en fonction de la norme ${‖ \nabla Φ^{T} \nabla Φ - \nabla Θ^{T} \nabla Θ ‖}_{L^{q} (Ω)}$ pour tout $q \in R$ vérifiant $\max {1, \frac{p}{2}} \leq q \leq p$ , où $(\nabla Φ^{T} \nabla Φ - \nabla Θ^{T} \nabla Θ)$ représente donc la différence exacte des métriques correspondant aux immersions Φ et Θ. De telles inégalités généralisent les inégalités de Korn linéaires bien connues où, lorsque $Θ = i d$ , la différence exacte $\nabla Φ^{T} \nabla Φ - I$ est réduite à sa partie linéaire $\nabla v^{T} + \nabla v$ par rapport au champ de vecteurs $v : = Φ - i d : \bar{Ω} \to R^{n}$ .

Let Ω be a bounded open subset of $R^{n}$ with a Lipschitz boundary. Given two smooth enough immersions $Φ : \bar{Ω} \to R^{n}$ et $Θ : \bar{Ω} \to R^{n}$ with the same orientation, we establish various nonlinear Korn inequalities that show that, for any $1 < p < \infty$ , the norm ${‖ Φ - Θ ‖}_{W^{1, p} (Ω)}$ can be bounded above in terms of the norm ${‖ \nabla Φ^{T} \nabla Φ - \nabla Θ^{T} \nabla Θ ‖}_{L^{q} (Ω)}$ for any $q \in R$ such that $\max {1, \frac{p}{2}} \leq q \leq p$ , where $(\nabla Φ^{T} \nabla Φ - \nabla Θ^{T} \nabla Θ)$ thus represents the exact difference between the metrics corresponding to the immersions Φ and Θ. Such inequalities generalize the well-known linear Korn inequalities, where, when $Θ = i d$ , the exact difference $\nabla Φ^{T} \nabla Φ - I$ is reduced to its linear part $\nabla v^{T} + \nabla v$ with respect to the vector field $v : = Φ - i d : \bar{Ω} \to R^{n}$ .

Reçu le : 2015-03-24
Publié le : 2015-04-07

DOI : 10.1016/j.crma.2015.03.004

Affiliations des auteurs :

Ciarlet, Philippe G. ¹ ; Mardare, Cristinel ^{2, 3}

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JO  - Comptes Rendus. Mathématique
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Ciarlet, Philippe G.; Mardare, Cristinel. Inégalités de Korn non linéaires dans $ {\mathbb{R}}^{n}$, avec ou sans conditions aux limites. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 353 (2015) no. 6, pp. 563-568. doi : 10.1016/j.crma.2015.03.004. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2015.03.004/

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