On the square-root partition function

Chen, Yong-Gao; Li, Ya-Li

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 353 (2015) no. 4, pp. 287-290.

La fonction de partition bien connue $p(n)$, qui compte le nombre de solutions de l'équation $n=a_1+\cdots +a_k$ en entiers $1\le a_1\le \cdots \le a_k$, a une longue histoire. Nous étudions dans cette Note une nouvelle fonction de partition. Soit $q(n)$ le nombre de solutions de l'équation $n=[\sqrt{a_1}]+\cdots +[\sqrt{a_k}]$ en entiers $1\le a_1\le \cdots \le a_k$, où $[x]$ désigne la partie entière de x. Nous montrons que $\exp (c_1{n}^{2/3}\le q(n)\le \exp (c_2{n}^{2/3})$ pour deux constantes positives explicites $c_1$ et $c_2$.

The well-known partition function $p(n)$, which is the number of solutions of the equation $n=a_1+\cdots +a_k$ with integers $1\le a_1\le \cdots \le a_k$, has a long research history. In this note, we investigate a new partition function. Let $q(n)$ be the number of solutions of the equation $n=[\sqrt{a_1}]+\cdots +[\sqrt{a_k}]$ with integers $1\le a_1\le \cdots \le a_k$, where $[x]$ denotes the integral part of x. We prove that $\exp (c_1{n}^{2/3})\le q(n)\le \exp (c_2{n}^{2/3})$ for two explicit positive constants $c_1$ and $c_2$.

[1] Balasubramanian, R.; Luca, F. On the number of factorizations of an integer, Integers, Volume 11 (2011) (A12, 5 p)