Propriétés de moyenne pour les fonctions harmoniques et polyharmoniques au sens de Dunkl

Gallardo, Léonard; Rejeb, Chaabane

doi:10.1016/j.crma.2014.11.013

Théorie du potentiel/Analyse harmonique

Propriétés de moyenne pour les fonctions harmoniques et polyharmoniques au sens de Dunkl

Présenté par : Jean-Michel Bony

Gallardo, Léonard ¹ ; Rejeb, Chaabane ^1,²

¹ Laboratoire de mathématiques et physique théorique, CNRS–UMR 7350, université de Tours, campus de Grandmont, 37200 Tours, France
² Département de mathématiques, faculté des sciences de Tunis, 1060 Tunis, Tunisie

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 353 (2015) no. 2, pp. 105-109.

Résumé
Abstract

Pour un système de racines dans $R^{d}$ muni de son groupe de Coxeter–Weyl W et d'une fonction de multiplicité $k \geq 0$ , on considère les opérateurs de Dunkl associés $D_{1}, \dots, D_{d}$ et le laplacien de Dunkl $Δ_{k} = D_{1}^{2} + \dots + D_{d}^{2}$ . Cette Note étudie les propriétés des fonctions u de classe $C^{2 m}$ sur un ouvert W-invariant $Ω \subset R^{d}$ et satisfaisant $Δ_{k}^{m} u = 0$ sur Ω (D-polyharmonicité si $m > 1$ et D-harmonicité si $m = 1$ ). En particulier, on introduit un nouvel opérateur qui généralise l'opérateur de moyenne volumique classique et qui caractérise la D-harmonicité (resp. la D-polyharmonicité), et on donne quelques applications.

For a root system in $R^{d}$ furnished with its Weyl–Coxeter group W and a multiplicity function $k \geq 0$ , we consider the associated commuting system of Dunkl operators $D_{1}, \dots, D_{d}$ and the Dunkl Laplacian $Δ_{k} = D_{1}^{2} + \dots + D_{d}^{2}$ . This paper studies the properties of the functions u of class $C^{2 m}$ on an open W-invariant set $Ω \subset R^{d}$ and satisfying $Δ_{k}^{m} u = 0$ on Ω (D-polyharmonicity if $m > 1$ and D-harmonicity if $m = 1$ ). In particular, we introduce a new operator, which is a generalization of the classical volume mean value operator and which characterizes D-harmonicity (resp. D-polyharmonicity) and we give some applications.

Reçu le : 2014-06-06
Accepté le : 2014-11-25
Publié le : 2014-12-29

DOI : 10.1016/j.crma.2014.11.013

Affiliations des auteurs :

Gallardo, Léonard ¹ ; Rejeb, Chaabane ^{1, 2}

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Gallardo, Léonard; Rejeb, Chaabane. Propriétés de moyenne pour les fonctions harmoniques et polyharmoniques au sens de Dunkl. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 353 (2015) no. 2, pp. 105-109. doi : 10.1016/j.crma.2014.11.013. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2014.11.013/

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