Mathematical Physics
Dynamical bounds for Sturmian Schrödinger operators
[Bornes dynamiques pour un opérateur Sturmien]
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 21-22, pp. 1191-1196.

Le modèle de Fibonacci, c'est-à-dire un opérateur de Schrödinger associé à un potentiel Sturmien dépendant du nombre d'Or, a fait l'objet de nombreuses études ces dernières années. Cette note a pour objet de généraliser les résultats obtenus par Damanik et Tcheremchantsev sur les exposants de transport du modèle de Fibonacci au même opérateur associé à d'autres nombres irrationnels. Avec leur méthode, nous donnons une borne dynamique supérieure pour presque tout nombre irrationnel. Nous donnons un contre exemple pour lequel aucune nouvelle borne n'est possible. Enfin nous donnons une borne inférieure pour la dimension de boîte du spectre de l'opérateur. Cela nous donnera pour les nombres irrationnels à densité bornée une borne dynamique inférieure pour les exposants de transports.

The Fibonacci Hamiltonian, that is a Schrödinger operator associated to a Sturmian potential with respect to the golden number has been investigated intensively in recent years. Damanik and Tcheremchantsev developed a method and found a non-trivial dynamical upper bound for transport exponents for this model. This method can be generalized to obtain results for almost all irrational numbers. As a counter example, we exhibit a pathological irrational number with no possible better bound. Moreover, we establish a global lower bound for the lower box dimension of the spectrum that could be used to obtain a dynamical lower bound for irrational numbers with bounded density.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.1016/j.crma.2008.09.019
Marin, Laurent 1

1 UMR 6628-MAPMO, Université d'Orléans, B.P. 6759, 45067 Orléans cedex, France
@article{CRMATH_2008__346_21-22_1191_0,
     author = {Marin, Laurent},
     title = {Dynamical bounds for {Sturmian} {Schr\"odinger} operators},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {1191--1196},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {346},
     number = {21-22},
     year = {2008},
     doi = {10.1016/j.crma.2008.09.019},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2008.09.019/}
}
TY  - JOUR
AU  - Marin, Laurent
TI  - Dynamical bounds for Sturmian Schrödinger operators
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2008
SP  - 1191
EP  - 1196
VL  - 346
IS  - 21-22
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2008.09.019/
DO  - 10.1016/j.crma.2008.09.019
LA  - en
ID  - CRMATH_2008__346_21-22_1191_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Marin, Laurent
%T Dynamical bounds for Sturmian Schrödinger operators
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2008
%P 1191-1196
%V 346
%N 21-22
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2008.09.019/
%R 10.1016/j.crma.2008.09.019
%G en
%F CRMATH_2008__346_21-22_1191_0
Marin, Laurent. Dynamical bounds for Sturmian Schrödinger operators. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 21-22, pp. 1191-1196. doi : 10.1016/j.crma.2008.09.019. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2008.09.019/

[1] Bellissard, J.; Iochum, B.; Scoppola, E.; Testard, D. Spectral properties of one dimensional quasi-crystals, Commun. Math. Phys., Volume 125 (1989), pp. 527-543

[2] Damanik, D.; Tcheremchantsev, S. Upper bounds in quantum dynamics, J. Amer. Math. Soc., Volume 20 (2006), pp. 799-827

[3] Damanik, D.; Tcheremchantsev, S. Scaling estimates for solutions and dynamical lower bounds on wavepacket spreading, J. Anal. Math., Volume 97 (2005), pp. 103-131

[4] Germinet, F.; Kiselev, A.; Tcheremchantsev, S. Transfer matrices and transport for Schrödinger operators, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 54 (2004), pp. 787-830

[5] Iochum, B.; Raymond, L.; Testard, D. Resistance of one-dimensional quasicrystals, Physica A, Volume 187 (1992), pp. 353-368

[6] Killip, R.; Kiselev, A.; Last, Y. Dynamical upper bounds on wavepacket spreading, Amer. J. Math., Volume 125 (2003), pp. 1165-1198

[7] Last, Y. Quantum dynamics and decompositions of singular continuous spectra, J. Funct. Anal., Volume 142 (1996), pp. 406-445

[8] Liu, Q.; Wen, Z. Hausdorff dimension of spectrum of one-dimensional Schrödinger operator with Sturmian potentials, Potential Anal., Volume 20 (2004), pp. 33-59

[9] L. Raymond, A constructive gap labelling for the discrete Schrödinger operator on a quasiperiodic chain, preprint, 1997

[10] Sütő, A. The spectrum of a quasiperiodic Schrödinger operator, Commun. Math. Phys., Volume 111 (1987), pp. 409-415

[11] Tcheremchantsev, S. Mixed lower bound in quantum transport, J. Funct. Anal., Volume 197 (2003), pp. 247-282

Cité par Sources :