Velocity averaging in L 1 for the transport equation
[Moyennisation en vitesse dans L1 pour l'équation de transport]
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 334 (2002) no. 7, pp. 557-562.

On énonce et démontre dans cette Note un nouveau résultat de compacité dans L1 pour les moyennes en vitesse des solutions de l'équation de transport. Ce résultat, établi par un nouvel argument d'interpolation, généralise à toute dimension d'espace le Lemme 8 de Golse–Lions–Perthame–Sentis [J. Funct. Anal. 76 (1988) 110–125], qui n'était jusqu'ici connu qu'en dimension 1 d'espace. C'est un point crucial dans les preuves des limites hydrodynamiques des équations de Boltzmann ou de BGK vers les équations de Navier–Stokes.

A new result of L1-compactness for velocity averages of solutions to the transport equation is stated and proved in this Note. This result, proved by a new interpolation argument, extends to the case of any space dimension Lemma 8 of Golse–Lions–Perthame–Sentis [J. Funct. Anal. 76 (1988) 110–125], proved there in space dimension 1 only. This is a key argument in the proof of the hydrodynamic limits of the Boltzmann or BGK equations to the incompressible Euler or Navier–Stokes equations.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02302-6
Golse, François 1, 2 ; Saint-Raymond, Laure 2

1 Institut Universitaire de France & École normale supérieure, DMA, 45, rue d'Ulm, 75005 Paris, France
2 Université Paris 6, Laboratoire d'analyse numérique, 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, France
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[1] Agoshkov, V.I. Spaces of functions with differential-difference characteristics and smoothness of solutions of the transport equation, Soviet Math. Dokl., Volume 29 (1984), pp. 662-666

[2] Bardos, C.; Degond, P. Global existence for the Vlasov–Poisson equation in 3 space variables with small initial data, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, Volume 2 (1985), pp. 101-118

[3] Bouchut, F.; Golse, F.; Pulvirenti, M. Kinetic equations and asymptotic theory (Perthame, B.; Desvillettes, L., eds.), Series in Appl. Math., 4, Gauthier-Villars, Paris, 2000

[4] Castella, F.; Perthame, B. Estimations de Strichartz pour les équations de transport cinétique, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 322 (1996), pp. 535-540

[5] DeVore, R.; Petrova, G. The averaging lemma, J. Amer. Math. Soc., Volume 14 (2001), pp. 279-296

[6] DiPerna, R.; Lions, P.-L.; Meyer, Y. Lp regularity of velocity averages, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, Volume 8 (1991), pp. 271-288

[7] Golse, F.; Lions, P.-L.; Perthame, B.; Sentis, R. Regularity of the moments of the solution of a transport equation, J. Funct. Anal., Volume 76 (1988), pp. 110-125

[8] Golse, F.; Perthame, B.; Sentis, R. Un résultat de compacité pour les équations de transport et application au calcul de la limite de la valeur propre principale de l'opérateur de transport, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 301 (1985), pp. 341-344

[9] F. Golse, L. Saint-Raymond, The Navier–Stokes limit for the Boltzmann equation: convergence proof, Preprint. C. R. Acad. Sci. Paris, Série I 333 (2001), to appear

[10] F. Golse, L. Saint-Raymond, in preparation

[11] Lions, J.-L. Théorèmes de trace et d'interpolation I, II, Ann. Scuola Norm. Pisa, Volume 13 (1959), pp. 389-403 14 (1960) 317–331

[12] Lions, P.-L. Régularité optimale des moyennes en vitesse, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 320 (1995), pp. 911-915 and C. R. Acad. Sci. Paris, Série I 326 (1998) 945–948

[13] Meyer, P.-A. Probabilités et potentiel, Hermann, Paris, 1966

[14] L. Saint-Raymond, Thèse de doctorat en mathématiques, Université Paris VII–Denis Diderot, January 2000

[15] L. Saint-Raymond, From the Boltzmann BGK equation to the Navier–Stokes system, Ann. Sci. École Norm. Sup., in press

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