Une nouvelle définition de l'invariant de Casson
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 334 (2002) no. 3, pp. 199-204.

Dans [4], en s'inspirant de [2], on a défini un invariant Δ(f), pour tout f g,1 , le groupe modulaire d'une surface compacte, connexe, orientée, à bord connexe, de genre g. Pour f𝒯 g,1 (un certain sous-groupe du groupe de Torelli), on a montré dans [4], en utilisant la formule de chirurgie de Casson, que Δ(f) coı̈ncide avec l'invariant de Casson [1] de la sphère d'homologie entière Mf, obtenue en recollant deux corps d'anses par f. Le but de cette Note est de montrer directement (i.e. sans référence à Casson) que Δ(f), pour f𝒯 g,1 , ne dépend que de la 3-variété Mf. La formule de chirurgie, qui est l'un des points difficiles chez Casson, résulte pratiquement de la définition de Δ(f).

In [4], following [2], we have defined an invariant Δ(f), for any f g,1 , the mapping class group of a compact, connected, oriented surface with connected boundary, genus g. For f𝒯 g,1 (a certain subgroup of the Torelli group), we have shown in [4], using Casson surgery formula, that Δ(f) coı̈ncides with the Casson invariant [1] of the homology sphere Mf, obtained by gluing two handlebodies along f. The purpose of this Note is to prove directly (i.e., without reference to Casson) that Δ(f), for f𝒯 g,1 , depends only on Mf. The surgery formula, which is a difficult point in Casson version, follows almost immediatly from the definition of Δ(f).

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02208-2
Perron, Bernard 1

1 Université de Bourgogne, Laboratoire de topologie, UMR 5584 du CNRS, 9, avenue Alain Savary, BP 47870, 21078 Dijon cedex, France
@article{CRMATH_2002__334_3_199_0,
     author = {Perron, Bernard},
     title = {Une nouvelle d\'efinition de l'invariant de {Casson}},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {199--204},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {334},
     number = {3},
     year = {2002},
     doi = {10.1016/S1631-073X(02)02208-2},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02208-2/}
}
TY  - JOUR
AU  - Perron, Bernard
TI  - Une nouvelle définition de l'invariant de Casson
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2002
SP  - 199
EP  - 204
VL  - 334
IS  - 3
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02208-2/
DO  - 10.1016/S1631-073X(02)02208-2
LA  - fr
ID  - CRMATH_2002__334_3_199_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Perron, Bernard
%T Une nouvelle définition de l'invariant de Casson
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2002
%P 199-204
%V 334
%N 3
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02208-2/
%R 10.1016/S1631-073X(02)02208-2
%G fr
%F CRMATH_2002__334_3_199_0
Perron, Bernard. Une nouvelle définition de l'invariant de Casson. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 334 (2002) no. 3, pp. 199-204. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02208-2. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02208-2/

[1] Guillou, L.; Marin, A. Notes sur l'invariant de Casson des sphères d'homologie de dimension trois, L'Enseignement Mathématique, Volume 38 (1992) no. 3–4, pp. 233-290

[2] Morita, S. Casson's invariant for homology 3-spheres and characteristic classes of surface bundles I, Topology, Volume 28 (1989), pp. 305-323

[3] Milnor, J. Introduction to Algebraic K-theory, Ann. of Math. Studies, 72, Princeton University Press, 1971

[4] B. Perron, Johnson's and Morita's results on the mapping class group revisited. Part I: Elementary constructions of Morita's extensions. Part II: On the Casson's invariant, Preprint Université de Bourgogne, Novembre 2000–Mars 2001

[5] Reidemeister, K. Zur dreidimensionalen Topologie, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, Volume 9 (1933), pp. 189-194

[6] Rolfsen, D. Knots and Links, Berkeley, 1976

[7] Saveliev, N. Lectures on the Topology of 3-Manifolds, De Gruyter Textbook, 1999

[8] Suzuki, S. On homeomorphisms of a 3-dimensional handlebody, Canad. J. Math., Volume 29 (1977), pp. 111-124

Cité par Sources :