Une nouvelle définition de l'invariant de Casson

Perron, Bernard

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 334 (2002) no. 3, pp. 199-204.

Dans [4], en s'inspirant de [2], on a défini un invariant $\Delta \left(\mathrm{f}\right)\in \mathbb{Q}$, pour tout $\mathrm{f}\in {ℳ}_{\mathrm{g},1}$, le groupe modulaire d'une surface compacte, connexe, orientée, à bord connexe, de genre g. Pour $\mathrm{f}\in {𝒯}_{\mathrm{g},1}$ (un certain sous-groupe du groupe de Torelli), on a montré dans [4], en utilisant la formule de chirurgie de Casson, que Δ(f) coı̈ncide avec l'invariant de Casson [1] de la sphère d'homologie entière M_f, obtenue en recollant deux corps d'anses par f. Le but de cette Note est de montrer directement (i.e. sans référence à Casson) que Δ(f), pour $\mathrm{f}\in {𝒯}_{\mathrm{g},1}$, ne dépend que de la 3-variété M_f. La formule de chirurgie, qui est l'un des points difficiles chez Casson, résulte pratiquement de la définition de Δ(f).

In [4], following [2], we have defined an invariant $\Delta \left(\mathrm{f}\right)\in \mathbb{Q}$, for any $\mathrm{f}\in {ℳ}_{\mathrm{g},1}$, the mapping class group of a compact, connected, oriented surface with connected boundary, genus g. For $\mathrm{f}\in {𝒯}_{\mathrm{g},1}$ (a certain subgroup of the Torelli group), we have shown in [4], using Casson surgery formula, that Δ(f) coı̈ncides with the Casson invariant [1] of the homology sphere M_f, obtained by gluing two handlebodies along f. The purpose of this Note is to prove directly (i.e., without reference to Casson) that Δ(f), for $\mathrm{f}\in {𝒯}_{\mathrm{g},1}$, depends only on M_f. The surgery formula, which is a difficult point in Casson version, follows almost immediatly from the definition of Δ(f).

[1] Guillou, L.; Marin, A. Notes sur l'invariant de Casson des sphères d'homologie de dimension trois, L'Enseignement Mathématique, Volume 38 (1992) no. 3–4, pp. 233-290

[2] Morita, S. Casson's invariant for homology 3-spheres and characteristic classes of surface bundles I, Topology, Volume 28 (1989), pp. 305-323

[3] Milnor, J. Introduction to Algebraic K-theory, Ann. of Math. Studies, 72, Princeton University Press, 1971

[4] B. Perron, Johnson's and Morita's results on the mapping class group revisited. Part I: Elementary constructions of Morita's extensions. Part II: On the Casson's invariant, Preprint Université de Bourgogne, Novembre 2000–Mars 2001

[5] Reidemeister, K. Zur dreidimensionalen Topologie, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, Volume 9 (1933), pp. 189-194

[6] Rolfsen, D. Knots and Links, Berkeley, 1976

[7] Saveliev, N. Lectures on the Topology of 3-Manifolds, De Gruyter Textbook, 1999

[8] Suzuki, S. On homeomorphisms of a 3-dimensional handlebody, Canad. J. Math., Volume 29 (1977), pp. 111-124