Capitulation and transfer kernels

Gruenberg, K. W.; Weiss, A.

Gruenberg, K. W. ; Weiss, A.

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 1, pp. 219-226.

Résumé
Abstract

On sait que pour une extension galoisienne finie $K / k$ d'un corps de nombres, le noyau du morphisme d'extension $C l_{k} \to C l_{K}$ s'identifie au noyau $X (H)$ du transfert $H / H^{'} A,$ où $H \to A$ , où $H =$ Gal $(\tilde{K} / k)$ , et $\tilde{K}$ est le corps de classes de Hilbert de $K$ . Lorsque le groupe $G =$ Gal $(\tilde{K} / k)$ est abélien, H. Suzuki a montré que $| G |$ divise $| X (H) |$ . Nous appelons noyau de transfert pour $G$ tout groupe abélien fini $X$ qui s'écrit $X (H)$ pour un certain groupe $H$ tel que $A ↪ H ↠ G$ . Après avoir caractérisé les noyaux de transfert en termes de représentations entières de $G$ , nous montrons que $X$ est un noyau de transfert pour le groupe abélien $G$ si et seulement si on a $| G | X = 0$ et $| G |$ divise $| X |$ , ce qui fournit une nouvelle démonstration du résultat de Suzuki.

If $K / k$ is a finite Galois extension of number fields with Galois group $G$ , then the kernel of the capitulation map $C l_{k} \to C l_{K}$ of ideal class groups is isomorphic to the kernel $X (H)$ of the transfer map $H / H^{'} \to A,$ where $H = Gal (\tilde{K} / k), A = Gal (\tilde{K} / K)$ and $\tilde{K}$ is the Hilbert class field of $K$ . H. Suzuki proved that when $G$ is abelian, $| G |$ divides $| X (H) |$ . We call a finite abelian group $X$ a transfer kernel for $G$ if $X ≅ X (H)$ for some group extension $A ↪ H ↠ G$ . After characterizing transfer kernels in terms of integral representations of $G$ , we show that $X$ is a transfer kernel for the abelian group $G$ if and only if $| G | X = 0$ and $| G |$ divides $| X |$ . Our arguments give a new proof of Suzuki’s result.

MR Zbl

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Gruenberg, K. W.; Weiss, A. Capitulation and transfer kernels. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 1, pp. 219-226. https://numdam.org/item/JTNB_2000__12_1_219_0/

Bibliographie
Cité par

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