On the structure of triangulated categories with finitely many indecomposables

Amiot, Claire

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 135 (2007) no. 3, pp. 435-474.

Cet article traite du problème de classification des catégories triangulées sur un corps algébriquement clos $k$ dont les espaces de morphismes sont de dimension finie et avec un nombre fini d’indécomposables. Nous obtenons une nouvelle preuve du résultat suivant dû à Xiao et Zhu : le carquois d’Auslander-Reiten d’une telle catégorie $𝒯$ est de la forme $\mathbb{Z}\Delta /G$ où $\Delta$ est une union disjointe de diagrammes de Dynkin simplement lacés et $G$ est un groupe d’automorphismes de $\mathbb{Z}\Delta$ faiblement admissible. Nous montrons ensuite que pour ‘presque’ tous groupes $G$, la catégorie $𝒯$ est standard, c’est-à-dire $k$-linéairement équivalente à une catégorie d’orbites ${𝒟}^b\left(\mathrm{𝗆𝗈𝖽}k\Delta \right)/\Phi$. C’est en particulier le cas lorsque $𝒯$ est maximale $d$-Calabi-Yau avec $d\ge 2$. De plus, si $𝒯$ est standard et algébrique, nous pouvons même construire une équivalence triangulée entre $𝒯$ et la catégorie d’orbites correspondante. Nous donnons finalemant une condition suffisante pour que la catégorie de projectifs d’une catégorie de Frobenius soit triangulée. Cela nous permet de construire des catégories $1$-Calabi-Yau non standard en utilisant les algèbres préprojectives déformées de type Dynkin généralisé.

We study the problem of classifying triangulated categories with finite-dimensional morphism spaces and finitely many indecomposables over an algebraically closed field $k$. We obtain a new proof of the following result due to Xiao and Zhu: the Auslander-Reiten quiver of such a category $𝒯$ is of the form $\mathbb{Z}\Delta /G$ where $\Delta$ is a disjoint union of simply-laced Dynkin diagrams and $G$ a weakly admissible group of automorphisms of $\mathbb{Z}\Delta$. Then we prove that for ‘most’ groups $G$, the category $𝒯$ is standard, i.e. $k$-linearly equivalent to an orbit category ${𝒟}^b\left(modk\Delta \right)/\Phi$. This happens in particular when $𝒯$ is maximal $d$-Calabi-Yau with $d\ge 2$. Moreover, if $𝒯$ is standard and algebraic, we can even construct a triangle equivalence between $𝒯$ and the corresponding orbit category. Finally we give a sufficient condition for the category of projectives of a Frobenius category to be triangulated. This allows us to construct non standard $1$-Calabi-Yau categories using deformed preprojective algebras of generalized Dynkin type.

[1] H. Asashiba - « The derived equivalence classification of representation-finite selfinjective algebras », J. Algebra 214 (1999), p. 182-221. | MR | Zbl

[2] M. Auslander - « Functors and morphisms determined by objects », in Representation theory of algebras (Proc. Conf., Temple Univ., Philadelphia, Pa., 1976), Lecture Notes in Pure Appl. Math., vol. 37, Dekker, 1978, p. 1-244. Lecture Notes in Pure Appl. Math., Vol. 37. | MR | Zbl

[3] -, « Isolated singularities and existence of almost split sequences », in Representation theory, II (Ottawa, Ont., 1984), Lecture Notes in Math., vol. 1178, Springer, 1986, p. 194-242. | MR | Zbl

[4] M. Auslander & I. Reiten - « McKay quivers and extended Dynkin diagrams », Trans. Amer. Math. Soc. 293 (1986), p. 293-301. | MR | Zbl

[5] -, « Cohen-Macaulay and Gorenstein Artin algebras », in Representation theory of finite groups and finite-dimensional algebras (Bielefeld, 1991), Progr. Math., vol. 95, Birkhäuser, 1991, p. 221-245. | MR | Zbl

[6] R. Bautista, P. Gabriel, A. V. Roĭter & L. Salmerón - « Representation-finite algebras and multiplicative bases », Invent. Math. 81 (1985), p. 217-285. | MR | Zbl

[7] A. A. Beĭlinson, J. Bernstein & P. Deligne - « Faisceaux pervers », in Analysis and topology on singular spaces, I (Luminy, 1981), Astérisque, vol. 100, Soc. Math. France, 1982, p. 5-171. | MR | Zbl

[8] J. Białkowski, K. Erdmann & A. Skowroński - « Deformed preprojective algebras of generalized Dynkin type », Trans. Amer. Math. Soc. 359 (2007), p. 2625-2650. | MR | Zbl

[9] J. Białkowski & A. Skowroński - « Calabi-Yau stable module categories of finite type », preprint http://www.mat.uni.torun.pl/preprints/, 2006. | Zbl

[10] -, « Nonstandard additively finite triangulated categories of Calabi-Yau dimension one in characteristic $3$ », to appear in Algebra and Discrete Mathematics. | Zbl

[11] A. B. Buan, R. Marsh, M. Reineke, I. Reiten & G. Todorov - « Tilting theory and cluster combinatorics », Adv. Math. 204 (2006), p. 572-618. | MR | Zbl

[12] P. Caldero, F. Chapoton & R. Schiffler - « Quivers with relations arising from clusters ($A_n$ case) », Trans. Amer. Math. Soc. 358 (2006), p. 1347-1364. | MR | Zbl

[13] P. Caldero & B. Keller - « From triangulated categories to cluster algebras », preprint arXiv:math.RT/0506018, 2005. | MR | Zbl

[14] E. Dieterich - « The Auslander-Reiten quiver of an isolated singularity », in Singularities, representation of algebras, and vector bundles (Lambrecht, 1985), Lecture Notes in Math., vol. 1273, Springer, 1987, p. 244-264. | MR | Zbl

[15] K. Erdmann & N. Snashall - « On Hochschild cohomology of preprojective algebras. I, II », J. Algebra 205 (1998), p. 391-412, 413-434. | MR | Zbl

[16] -, « Preprojective algebras of Dynkin type, periodicity and the second Hochschild cohomology », in Algebras and modules, II (Geiranger, 1996), CMS Conf. Proc., vol. 24, Amer. Math. Soc., 1998, p. 183-193. | MR | Zbl

[17] P. Gabriel & A. V. Roĭter - « Representations of finite-dimensional algebras », in Algebra, VIII, Encyclopaedia Math. Sci., vol. 73, Springer, 1992, With a chapter by B. Keller, p. 1-177. | MR | Zbl

[18] C. Geiß, B. Leclerc & J. Schröer - « Auslander algebras and initial seeds for cluster algebras », preprint arXiv:math.RT/0506405, 2005. | MR | Zbl

[19] -, « Partial flag varieties and preprojective algebras », arXiv:math.RT/0609138, 2006.

[20] C. Geiß, B. Leclerc & J. Schröer - « Rigid modules over preprojective algebras », Invent. Math. 165 (2006), p. 589-632. | MR | Zbl

[21] D. Happel - « On the derived category of a finite-dimensional algebra », Comment. Math. Helv. 62 (1987), p. 339-389. | MR | Zbl

[22] -, Triangulated categories in the representation theory of finite-dimensional algebras, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 119, Cambridge University Press, 1988. | MR | Zbl

[23] D. Happel, U. Preiser & C. M. Ringel - « Binary polyhedral groups and Euclidean diagrams », Manuscripta Math. 31 (1980), p. 317-329. | MR | Zbl

[24] -, « Vinberg’s characterization of Dynkin diagrams using subadditive functions with application to $D\mathrm{Tr}$-periodic modules », in Representation theory, II (Proc. Second Internat. Conf., Carleton Univ., Ottawa, Ont., 1979), Lecture Notes in Math., vol. 832, Springer, 1980, p. 280-294. | MR | Zbl

[25] A. Heller - « Stable homotopy categories », Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968), p. 28-63. | MR | Zbl

[26] T. Holm & P. Jørgensen - « Cluster categories and selfinjective algebras: type A », preprint arXiv:math.RT/0610728, 2006.

[27] -, « Cluster categories and selfinjective algebras: type D », preprint arXiv:math.RT/0612451, 2006.

[28] O. Iyama & Y. Yoshino - « Mutations in triangulated categories and rigid Cohen-Macaulay modules », preprint arXiv:math.RT/0607736, 2006. | MR | Zbl

[29] B. Keller - « Derived categories and universal problems », Comm. Algebra 19 (1991), p. 699-747. | MR | Zbl

[30] -, « On triangulated orbit categories », Doc. Math. 10 (2005), p. 551-581. | MR | Zbl

[31] -, « On differential graded categories », preprint arXiv:math.KT/0601185, 2006. | MR

[32] B. Keller & I. Reiten - « Cluster-tilted algebras are Gorenstein and stably Calabi-Yau », preprint arXiv:math.RT/0512471, 2005. | MR | Zbl

[33] -, « Acyclic Calabi-Yau categories », preprint arXiv:math.RT/0610594, 2006.

[34] B. Keller & D. Vossieck - « Sous les catégories dérivées », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 305 (1987), p. 225-228. | MR | Zbl

[35] R. Marsh, M. Reineke & A. Zelevinsky - « Generalized associahedra via quiver representations », Trans. Amer. Math. Soc. 355 (2003), p. 4171-4186. | MR | Zbl

[36] A. Neeman - Triangulated categories, Annals of Mathematics Studies, vol. 148, Princeton University Press, 2001. | MR | Zbl

[37] Y. Palu - « On algebraic Calabi-Yau categories », Thèse, in preparation.

[38] I. Reiten & M. Van Den Bergh - « Noetherian hereditary abelian categories satisfying Serre duality », J. Amer. Math. Soc. 15 (2002), p. 295-366. | MR | Zbl

[39] C. Riedtmann - « Algebren, Darstellungsköcher, Überlagerungen und zurück », Comment. Math. Helv. 55 (1980), p. 199-224. | MR | Zbl

[40] -, « Representation-finite self-injective algebras of class $A_n$ », in Representation theory, II (Proc. Second Internat. Conf., Carleton Univ., Ottawa, Ont., 1979), Lecture Notes in Math., vol. 832, Springer, 1980, p. 449-520. | MR | Zbl

[41] -, « Many algebras with the same Auslander-Reiten quiver », Bull. London Math. Soc. 15 (1983), p. 43-47. | MR | Zbl

[42] -, « Representation-finite self-injective algebras of class $D_n$ », Compositio Math. 49 (1983), p. 231-282. | Numdam | MR

[43] C. M. Ringel - Tame algebras and integral quadratic forms, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1099, Springer, 1984. | MR | Zbl

[44] -, « Hereditary triangulated categories », to appear in Comp. Math., 2006.

[45] G. Tabuada - « On the structure of Calabi-Yau categories with a cluster tilting subcategory », preprint arXiv:math.RT/0607394, 2006. | MR | Zbl

[46] J.-L. Verdier - « Catégories dérivées. Quelques résultats », Lect. Notes Math. 569 (1977), p. 262-311. | Zbl

[47] -, « Des catégories dérivées des catégories abéliennes », Astérisque (1996), p. 253 pp. (1997), With a preface by Luc Illusie, Edited and with a note by Georges Maltsiniotis. | Numdam | MR | Zbl

[48] J. Xiao & B. Zhu - « Relations for the Grothendieck groups of triangulated categories », J. Algebra 257 (2002), p. 37-50. | MR | Zbl

[49] -, « Locally finite triangulated categories », J. Algebra 290 (2005), p. 473-490. | MR | Zbl

[50] Y. Yoshino - Cohen-Macaulay modules over Cohen-Macaulay rings, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 146, Cambridge University Press, 1990. | MR | Zbl