Coincidence for substitutions of Pisot type

Barge, Marcy; Diamond, Beverly

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 4, pp. 619-626.

Soit $\varphi$ une substitution de type Pisot sur un alphabet $𝒜=\{1,2,...,d\}$ ; on dit que $\varphi$ satisfait la condition de coïncidence forte si pour tout $i,j\in 𝒜$, il existe des entiers $k,n$ tels que ${\varphi }^n\left(i\right)$ et ${\varphi }^n\left(j\right)$ aient la même $k$-ième lettre et les préfixes de longueur $k-1$ de ${\varphi }^n\left(i\right)$ et ${\varphi }^n\left(j\right)$ aient la même image par l’application d’abélianisation. Nous montrons que la condition de coïncidence forte est satisfaite pour $d=2$ et nous donnons un résultat partiel pour $d\ge 2$.

Let $\varphi$ be a substitution of Pisot type on the alphabet $𝒜=\{1,2,...,d\}$; $\varphi$ satisfies the strong coincidence condition if for every $i,j\in 𝒜$, there are integers $k,n$ such that ${\varphi }^n\left(i\right)$ and ${\varphi }^n\left(j\right)$ have the same $k$-th letter, and the prefixes of length $k-1$ of ${\varphi }^n\left(i\right)$ and ${\varphi }^n\left(j\right)$ have the same image under the abelianization map. We prove that the strong coincidence condition is satisfied if $d=2$ and provide a partial result for $d\ge 2$.

[1] P. Arnoux & S. Ito - « Pisot substitutions and Rauzy fractals », Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 8 (2001), p. 181-207. | MR | Zbl

[2] P. Arnoux, S. Ito & Y. Sano - « Higher dimensional extensions of substitutions and their dual maps », J. Anal. Math. 83 (2001), p. 183-206. | MR | Zbl

[3] V. Berthé, S. Ferenczi, C. Mauduit & A. Siegel (éds.) - Introduction to Finite Automata and Substitutions Dynamical Systems, Lectures Notes in Mathematics, Springer-Verlag, to appear, http://iml. univ-mrs.fr/editions/preprint00/book/prebookdac.html. | MR

[4] V. Canterini & A. Siegel - « Geometric representation of primitive substitutions of Pisot type », Trans. Amer. Math. Soc. 353 (2001), p. 5121-5144. | MR | Zbl

[5] F. Dekking - « The spectrum of dynamical systems arising from substitutions of constant length », Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete 41 (1977/78), p. 221-239. | MR | Zbl

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[10] A. Siegel - « Représentation des systèmes dynamiques substitutifs non unimodulaires », preprint to appear in Ergodic Theory and Dynamical Systems. | Zbl

[11] -, « Représentation géométrique, combinatoire et arithmétique des substitutions de type Pisot », Thèse, Université de la Méditerranée, 2000.