Caractérisation des espaces vectoriels ordonnés sous-jacents aux algèbres de von Neumann

Connes, Alain

Annales de l'Institut Fourier, Tome 24 (1974) no. 4, pp. 121-155.

Nous démontrons que la catégorie de von Neumann est équivalente à la catégorie des cônes autopolaires, facialement homogènes, complexes. Un cône $\vee$ dans un espace hilbertien réel est dit : 1) facialement homogène quand pour toute face $F$ de $\vee$ l’opérateur $\delta =$ (Projection sur $F-F$) $-$ (Projection sur $F^{\perp }-F^{\perp }$) est une dérivation de $\vee$ (i.e. $e^{t\delta }\vee =\vee \forall t\in R$) ; 2) complexe quand on s’est donné une structure d’algèbre de Lie complexe sur l’algèbre de Lie réelle des dérivations de $\vee$, modulo son centre. Nous caractérisons les espaces vectoriels ordonnés $M$, $M^{+}$ sous-jacents aux algèbres de von Neumann par l’existence d’une forme autopolaire $s$ sur $M$ telle que le complété de $M_{+}$ soit facialement homogène et complexe.

We prove that the category of von Neumann algebras is equivalent to the category of self dual facially homogeneous complex cones where a cone $\vee$ in a real Hilbert space $E$ is called: 1) facially homogeneous when for each face $F$ of $\vee$ the operator $\delta =$ (Projection on $F-F$) $-$ (Projection on $F^{\perp }-F^{\perp }$) is a derivation of $\vee$ (i.e. $e^{t\delta }\vee =\vee \forall t\in R$) ; 2) complex when one has given a complex Lie algebra structure on the real Lie algebra of derivations of $\vee$, modulo its center. We show that an ordered space $M$, $M^{+}$ is underlying a von Neumann algebra $M$ if and only if for some self dual scalar product $s$ on $M$ the completion of $M_{+}$ is facially homogeneous and complex.

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