Extensions de valuation et polygone de Newton

Vaquié, Michel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 7, pp. 2503-2541.

Soient $(K,\nu )$ un corps valué et $L$ est une extension monogène finie de $K$ définie par $L=K\left[x\right]/\left(P\right)$, alors toute valuation de $L$ qui prolonge $\nu$ définit une pseudo-valuation $\zeta$ de $K\left[x\right]$ de noyau l’idéal $\left(P\right)$. Nous savons associer à $\zeta$ une famille de valuations de $K\left[x\right]$, appelée famille admissible, construite de façon explicite à partir de valuations augmentées et de valuations augmentées limites.

Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour qu’une valuation $\mu$ de $K\left[x\right]$ appartienne à la famille admissible associée à une pseudo-valuation $\zeta$ correspondant à une valuation de $L$, condition ne faisant pas intervenir $\zeta$ mais uniquement le polynôme $P$. Nous pouvons ainsi déterminer toutes les valuations de $L$ qui prolongent la valuation $\nu$ de $K$. Pour cela nous définissons le polygone de Newton associé à $P$, à un polynôme $\phi$ et à une valuation $\mu$, à partir du développement de $P$ selon les puissances de $\phi$.

Let $(K,\nu )$ be a valued field and $L$ a finite cyclic extension of $K$ defined by $L=K\left[x\right]/\left(P\right)$, then any valuation of $L$ which extends $\nu$ defines a pseudo-valuation $\zeta$ on $K\left[x\right]$ whose kernel is the principal ideal $\left(P\right)$. We know how to associate to $\zeta$ a family of valuations on $K\left[x\right]$, called an admissible family, which is explicitely constructed by augmented valuations and limit augmented valuations.

We give a necessary and sufficient condition for a valuation of $K\left[x\right]$ to belong to an admissible family associated to a pseudo-valuation $\zeta$ which corresponds to a valuation of $L$, this condition depends only on the polynomial $P$. On the way we can determine all the valuations of $L$ which extend the valuation $\nu$ of $K$. To give this condition we define the Newton polygon associated to $P$, to a polynomial $\phi$ and to a valuation $\mu$ of $K\left[x\right]$.

[1] MacLane, S. A construction for absolute values in polynomial rings, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 40 (1936), pp. 363-395 | DOI | MR

[2] MacLane, S. A construction for prime ideals as absolute values of an algebraic field, Duke Math. J., Volume 2 (1936), pp. 492-510 | DOI | MR

[3] Raynaud, M. Anneaux Locaux Henséliens, Lect. Notes in Math., Volume 169, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New-York, 1970 | MR | Zbl

[4] Vaquié, M. Extension de valuation et famille admise (en préparation)

[5] Vaquié, M. Valuations, Resolution of Singularities - A Research Textbook in Tribute to Oscar Zariski (Progress. in Mathematics), Volume 181, Birkhäuser Verlag Basel (2000) | MR | Zbl

[6] Vaquié, M.; Fr., Soc. Math. Famille admise associée à une valuation de $K\left[x\right]$, Singularités franco-japonaises (Séminaires et Congrès), Volume 10 (2005) | MR | Zbl

[7] Vaquié, M. Algèbre graduée associée à une valuation de $K\left[x\right]$, Advanced Studies in Pure Mathematics, Volume 46 (2007), pp. 259-271 (à paraître dans Singularities in Geometry and Topology 2004) | MR | Zbl

[8] Vaquié, M. Extension d’une valuation, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 359 (2007), pp. 3439-3481 | DOI | Zbl

[9] Vaquié, M. Famille admissible de valuations et défaut d’une extension, Jour. of Alg., Volume 311 (2007), pp. 859-876 | DOI | Zbl