Problèmes aux limites non homogènes. II

Lions, Jacques-Louis; Magenes, E.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 11 (1961), pp. 137-178.

Soit $A(x,\partial /\partial x)$ un opérateur elliptique d’ordre $2m$ dans un ouvert borné de ${\mathbf{R}}^n$, frontière et coefficients étant réguliers. Le problème de Dirichlet consiste en la recherche de $u$ vérifiant $Au=f$, $f$ donnée dans $\Omega$, avec $\frac{{\partial }^{j}u}{\partial n^j}$ (dérivée normale d’ordre $j$) $={\varphi }_j$ donnée sur $\Gamma$ (frontière de $\Omega$), $j=0,1,...,m-1$. Pour $f$ et ${\varphi }_j$ dans des classes hilbertiennes variées, on détermine le meilleur espace auquel appartient $u$. Résultats analogues pour le problème de Neumann ou les problèmes de dérivées obliques.

Les démonstrations utilisent un certain nombre de théorèmes de trace (nos 2 à 5), la méthode de “transposition” (nos 6 à 8) et la méthode d’interpolation hilbertienne (nos 10 à 13). Les extensions au cas non hilbertiens ($L^p$, $p\ne 2$) sont données dans l’article (III) de cette série (à paraître aux Annali di Pisa, 1961).

[1] S. Agmon. The coerciveness problem for integro differential forms, Journal d'Analyse Math. Israel. Vol. 6 (1958), pp. 183-223. | MR | Zbl

[1 bis] S. Agmon. The Lp approach to the Dirichlet problem I, Annali Scuola Norm. Sup. Pisa. III, 13 (1959) pp. 405-448. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[1 ter] S. Agmon, A. Douglis et L. Nirenberg. Estimates near the boundary, Comm. Pure Applied Math. Vol. XII (1959), pp. 623-727. | Zbl

[2] N. Aronszajn. Associated spaces, interpolation theorems and the regularity of solutions of differential problems, Conférence de Berkeley, 1960, à paraître. | Zbl

[2 bis] N. Aronszajn. Boundary value of functions with finite Dirichlet integral, Tech. Report. n. 14, Univ. of Kansss, (1955), pp. 77-94. | Zbl

[3] N. Aronszajn et A. N. Milgram. Differential operators on Riemaniam manifolds, Rend. Circ. Matem. Palermo, Vol. 2 (1952), pp. 1-61. | Zbl

[3 bis] N. Aronszajn et K. T. Smith. A paraître.

[3 ter] Babitch. Le problème du prolongement à la frontière, Ouspechi Mat. Nauk, t. 8 (1953), pp. 111-113.

[3 quarto] Babitch-Slobodetsky. Doklady Akad. Nauk. t. 106 (1956), pp. 604-608.

[4] F. E. Browder. Modern methods in the theory of partial differential equations. A paraître aux Eergebnisse der Math., Springer.

[4 bis] F. E. Browder. Estimates and existence theorems for elliptic boundary value problems. Proc. Nat. Acad. Sc. U. S. A. 45 (1959), pp. 365-372. | MR | Zbl

[5] G. Cimmino. Nuovo tipo di condizioni al contorno e nuovo metodo di trattazione per il problema generalizzato di Dirichlet, Rend. Circo. Mat. Palermo, 61 (1937), pp. 177-224. | Zbl

[6] C. Foias et J. L. Lions. Sur certains théorèmes d'interpolation. A paraître aux Acta Szeged. | Zbl

[7] E. Gagliardo. Interpolation d'espaces de Banach et applications, C. R. Acad. Sci. Paris, (I), (II), (III), Vol. 248 (1959), pp. 1912-1914 ; 3388-3390 ; 3517-3518. | MR | Zbl

[8] L. Gårding. Dirichlet's problem for linear elliptic partial differentiel equations, Math. Scand. 1, (1953), pp. 55-72. | MR | Zbl

[9] L. Hörmander. Définitions of maximal differential operators, Arkiv for Math., t. 3 (1958), p. 510-504. | MR | Zbl

[9 bis] L. Hörmander et J. L. Lions. Sur la complétion par rapport à une intégrale de Dirichlet, Math. Scand. 4 (1956), pp. 259-270. | MR | Zbl

[10] S. G. Krein. Un théorème d'interpolation dans la théorie des opérateurs, Doklady Akad. Nauk, t. 130 (1959), pp. 1162-1165.

[11] J. L. Lions. Lectures on elliptic differentiel equations, Tata Institute of Fundamental Research. Bombay, 1957. | Zbl

[12] J. L. Lions. Équations différentielles opérationnelles et problèmes aux limites, Grundlehren der mathem. Wissenschaften, t. 111. Springer. A paraître. | Zbl

[13] J. L. Lions. Un théorème de traces ; applications, C. R. Acad. Sci., Paris, t. 249 (1959), pp. 2259-2261. | MR | Zbl

[14] J. L. Lions. Conditions aux limites de Visik Soboleff et problèmes mixtes, C. R. Acad. Sci. Paris, t. 244 (1957), pp. 1126-1128. | MR | Zbl

[15] J. L. Lions. Sur les problèmes aux limites du types dérivée oblique, Annals of Math., 64 (1956), pp. 208-239. | MR | Zbl

[15 bis] J. L. Lions. Espaces intermédiaires entre espaces hilbertiens et applications, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Phys. Roumanie. 50 (1958), pp. 419-432. | MR | Zbl

[15 ter] J. L. Lions. Théorèmes de trace et d'interpolation. (I), Annali Scuola Norm. Sup. Pisa. Vol. XIII (1959), pp. 389-403. | Numdam | Zbl

[16] J. L. Lions et E. Magenes : Problemi al contorno non omogenei. (I), Annali Scuola Norm. Sup. Pisa, Vol. XIV (1960), pp. 269-308. | Numdam | MR | Zbl

[16 bis] J. L. Lions et E. Magenes. Remarque sur les problèmes aux limites pour opérateurs paraboliques. C. R. Acad. Sc. Paris, 1960. | MR | Zbl

[17] E. Magenes. Sul problema di Dirichlet per le equazioni lineari ellittiche in due variabili, Ann. Mat. Pura ed Appl. IV, 48, (1959) pp. 257-279. | Zbl

[18] E. Magenes et G. Stampacchia. I. problemi al contorno per le equazioni differenziali di tipo ellittico, Annali Scuola Norm. Sup. Pisa, III, 12 (1958), pp. 247-357. | Numdam | MR | Zbl

[18'] J. Nečas. Sur les solutions des équations elliptiques aux dérivées partielles du second ordre avec intégrale de Dirichlet non bornée, Journal Tchecoslovque de Math. t. 10 (85) (1960), pp. 283-298. | MR | Zbl

[18 bis] L. Nirenberg. Remarks on strongly elliptic partial differential equations, Comm. Pure Applied Math., 8 (1955), pp. 648-674. | MR | Zbl

[19] J. Peetre. Théorèmes de régularité pour quelques classes d'opérateurs différentiels, Lund Université, 1959. | MR | Zbl

[19 bis] G. Prodi. Tracce di funzioni con derivata di ordine 1..., Rend. Sem. Mat. Padova, 28 (1958), pp. 402-452. | Numdam | MR | Zbl

[20] M. Schechter. Solution of the Dirichlet problem for systems not necessarily strongly elliptic, Comm. Pure Applied. Math., 12 (1959), pp. 241-247. | MR | Zbl

[20 bis] M. Schechter. General boundary value problems for elliptic partial differential equations, Comm. Pure Applied Math. XV (1959), pp. 457-486. | MR | Zbl

[21] L. Schwartz. Théorie des distributions, Paris, Hermann, t. I, 1950 (2e édition, 1957) ; t. II, 1951. | Zbl

[22] L. Schwartz. Les travaux de Gårding sur le problème de Dirichlet, Séminaire Bourbaki, mai 1952. | Numdam

[22 bis] L. Schwartz. Théorie des distributions à valeurs vectorielles (I), (II), Annales Inst. Fourier, t. VII (1957), pp. 1-139 ; t. VIII (1958), pp. 1-209. | Numdam | Zbl

[23] L. N. Slobodetskii. Évaluations dans Lp des solutions de systèmes elliptiques, Doklady Akad. Nauk. t. 123 (1958), pp. 616-619.

[24] S. L. Sobolev. Applications de l'analyse fonctionnelle à la Physique Mathématique, Leningrad, 1950.

[25] I. M. Visik et L. A. Lusternik. Solution de certains problèmes de perturbation (I), Ouspechi Mat. Nauk, t. 15 (93) (1960), pp. 3-80. | Zbl

[26] I. M. Visik et S. L. Sobolev. Nouvelle formulation générale des problèmes aux limites, Doklady Akad. Nauk, t. 111 (1956), pp. 521-523. | Zbl