Complétude et flots nul-géodésibles en géométrie lorentzienne

Mounoud, Pierre

Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 132 (2004) no. 3, pp. 463-475

On étudie la complétude géodésique des flots nul-prégéodésiques sur les variétés lorentziennes compactes, ce qui donne une obstruction à être nul-géodésique. On montre que lorsque l’orthogonal du champ de vecteurs engendrant le flot considéré s’intègre en un feuilletage $ℱ$, la complétude du flot se lit sur l’holonomie de $ℱ$. On montre ainsi qu’il n’existe pas de flots nul-géodésiques lisses sur $S^3$. On montre aussi qu’un $2$-tore lorentzien est nul-complet si et seulement si ses feuilletages de type lumière sont ${𝒞}^0$ linéarisables.

We study geodesic completeness of null-pregeodesic flows on compact Lorentz manifold, obtaining an obstruction to be null-geodesic. We show that when the orthogonal distribution to the vectorfield generating the considered flow integrates into a foliation $ℱ$, the completeness of the flow can be read on the holonomie of $ℱ$. We obtain this way that there are no smooth null-geodesic flows on $S^3$. We also prove that a Lorentzian $2$-torus is null-complete if and only if its lightlike foliations are both ${𝒞}^0$ linearisable.

Classification: 53C50, 53C12, 53C22
Mots-clés : flot nul-géodésible, complétude géodésique
Keywords: null-geodesic flow, geodesic completeness

[1] Y. Carrière & L. Rozoy - « Complétude des métriques lorentziennes de $T^2$ et difféomorphismes du cercle », Bol. Soc. Brasil. Mat. (N.S.) 25 (1994), no. 2, p. 223-235. | Zbl | MR

[2] C. Chicone & P. Ehrlich - « Lorentzian geodesibility », Differential topology - geometry and related fields, and their applications to the physical sciences and engineering, Teubner-Texte Math, vol. 76, Teubner, 1985, p. 5-99. | Zbl | MR

[3] A. Davis & F. Wilson - « Vector fields tangent to foliations. I : Reeb foliations », J. Differ. Equations 11 (1972), p. 491-498. | Zbl | MR

[4] S. Gallot, D. Hullin & J. Lafontaine - Riemannian geometry, 2e éd., Universitext, Springer-Verlag, 1990. | Zbl | MR

[5] E. Ghys - « Rigidité différentiable des groupes fuchsiens », Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 78 (1994), p. 163-185. | Zbl | MR | Numdam | EuDML

[6] M. Guediri & J. Lafontaine - « Sur la complétude des variétés pseudo-riemanniennes », J. Geom. Phys. 15 (1995), no. 2, p. 150-158. | Zbl | MR

[7] R. Moussu & R. Roussarie - « Relations de conjugaison et de cobordisme entre certains feuilletages », Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 43 (1974), p. 142-168. | Zbl | MR | Numdam | EuDML

[8] S. Novikov - « The topology of foliations », Trudy Moskov. Mat. Ob. 14 (1965), p. 248-278, AMS Transl. (1967), pp. 286-304. | Zbl | MR

[9] F. Palmera - « Open manifolds foliated by planes », Annals of Math. 107 (1978), p. 109-131. | Zbl | MR

[10] B. Reinhart - « Line element on the torus », Amer. J. Math. 81 (1959), p. 617-631. | Zbl | MR

[11] D. Sullivan - « A foliation of geodesics is characterized by having no ‘tangent homologies' », J. Pure Appl. Algebra 13 (1978), no. 1, p. 101-104. | Zbl | MR

[12] A. Zeghib - « Geodesic foliations in Lorentz 3-manifolds », Comment. Math. Helv. 74 (1999), no. 1, p. 1-21. | Zbl | MR