\documentclass[CRMATH,Unicode,biblatex,francais,XML,published]{cedram}

\TopicFR{Algèbre}
\TopicEN{Algebra}



\addbibresource{CRMATH_Tignol_20230438.bib}

%% Insert here your own symbols, as the following ones:
\newcommand{\bbR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\bbZ}{\mathbb{Z}}
\DeclareMathOperator{\Symd}{Symd}
\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
\DeclareMathOperator{\Prp}{Prp}
\DeclareMathOperator{\Pcrd}{Pcrd}
\DeclareMathOperator{\Trp}{Trp}
\DeclareMathOperator{\Srp}{Srp}
\DeclareMathOperator{\Nrp}{Nrp}
\DeclareMathOperator{\Trd}{Trd}
\DeclareMathOperator{\Srd}{Srd}
\DeclareMathOperator{\Nrd}{Nrd}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\newcommand{\invo}{\overline{\rule{2.5mm}{0mm}\rule{0mm}{4pt}}}
\newcommand{\sq}{q}
\DeclareMathOperator{\diag}{diag}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\makeatletter
\let\save@mathaccent\mathaccent
\newcommand*\if@single[3]{%
 \setbox0\hbox{${\mathaccent"0362{#1}}^H$}%
 \setbox2\hbox{${\mathaccent"0362{\kern0pt#1}}^H$}%
 \ifdim\ht0=\ht2 #3\else #2\fi
 }
%The bar will be moved to the right by a half of \macc@kerna, which is computed by amsmath:
\newcommand*\rel@kern[1]{\kern#1\dimexpr\macc@kerna}
%If there's a superscript following the bar, then no negative kern may follow the bar;
%an additional {} makes sure that the superscript is high enough in this case:
\newcommand*\widebar[1]{\@ifnextchar^{{\wide@bar{#1}{0}}}{\wide@bar{#1}{1}}}
%Use a separate algorithm for single symbols:
\newcommand*\wide@bar[2]{\if@single{#1}{\wide@bar@{#1}{#2}{1}}{\wide@bar@{#1}{#2}{2}}}
\newcommand*\wide@bar@[3]{%
 \begingroup
 \def\mathaccent##1##2{%
%Enable nesting of accents:
 \let\mathaccent\save@mathaccent
%If there's more than a single symbol, use the first character instead (see below):
 \if#32 \let\macc@nucleus\first@char \fi
%Determine the italic correction:
 \setbox\z@\hbox{$\macc@style{\macc@nucleus}_{}$}%
 \setbox\tw@\hbox{$\macc@style{\macc@nucleus}{}_{}$}%
 \dimen@\wd\tw@
 \advance\dimen@-\wd\z@
%Now \dimen@ is the italic correction of the symbol.
 \divide\dimen@ 3
 \@tempdima\wd\tw@
 \advance\@tempdima-\scriptspace
%Now \@tempdima is the width of the symbol.
 \divide\@tempdima 10
 \advance\dimen@-\@tempdima
%Now \dimen@ = (italic correction / 3) - (Breite / 10)
 \ifdim\dimen@>\z@ \dimen@0pt\fi
%The bar will be shortened in the case \dimen@<0 !
 \rel@kern{0.6}\kern-\dimen@
 \if#31
 \overline{\rel@kern{-0.6}\kern\dimen@\macc@nucleus\rel@kern{0.4}\kern\dimen@}%
 \advance\dimen@0.4\dimexpr\macc@kerna
%Place the combined final kern (-\dimen@) if it is >0 or if a superscript follows:
 \let\final@kern#2%
 \ifdim\dimen@<\z@ \let\final@kern1\fi
 \if\final@kern1 \kern-\dimen@\fi
 \else
 \overline{\rel@kern{-0.6}\kern\dimen@#1}%
 \fi
 }%
 \macc@depth\@ne
 \let\math@bgroup\@empty \let\math@egroup\macc@set@skewchar
 \mathsurround\z@ \frozen@everymath{\mathgroup\macc@group\relax}%
 \macc@set@skewchar\relax
 \let\mathaccentV\macc@nested@a
%The following initialises \macc@kerna and calls \mathaccent:
 \if#31
 \macc@nested@a\relax111{#1}%
 \else
%If the argument consists of more than one symbol, and if the first token is
%a letter, use that letter for the computations:
 \def\gobble@till@marker##1\endmarker{}%
 \futurelet\first@char\gobble@till@marker#1\endmarker
 \ifcat\noexpand\first@char A\else
 \def\first@char{}%
 \fi
 \macc@nested@a\relax111{\first@char}%
 \fi
 \endgroup
}
\makeatother

\let\oldbar\bar
\renewcommand*{\bar}[1]{\mathchoice{\widebar{#1}}{\widebar{#1}}{\widebar{#1}}{\oldbar{#1}}}

\let\oldtilde\tilde
\renewcommand*{\tilde}[1]{\mathchoice{\widetilde{#1}}{\widetilde{#1}}{\oldtilde{#1}}{\oldtilde{#1}}}
%\let\tilde\widetilde

%\let\hat\widehat
\let\oldhat\hat
\renewcommand*{\hat}[1]{\mathchoice{\widehat{#1}}{\widehat{#1}}{\oldhat{#1}}{\oldhat{#1}}}
%\let\tilde\widetilde

\let\oldcheck\check
\renewcommand*{\check}[1]{\mathchoice{\widehat{#1}}{\widehat{#1}}{\oldcheck{#1}}{\oldcheck{#1}}}

\renewcommand*{\to}{\mathchoice{\longrightarrow}{\rightarrow}{\rightarrow}{\rightarrow}}

\let\oldmapsto\mapsto
\renewcommand*{\mapsto}{\mathchoice{\longmapsto}{\oldmapsto}{\oldmapsto}{\oldmapsto}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand*{\mk}{\mkern -1mu}
\newcommand*{\Mk}{\mkern -2mu}
\newcommand*{\mK}{\mkern 1mu}
\newcommand*{\MK}{\mkern 2mu}

\hypersetup{urlcolor=purple, linkcolor=blue, citecolor=red}


\newcommand*{\romanenumi}{\renewcommand*{\theenumi}{\roman{enumi}}}
\newcommand*{\Romanenumi}{\renewcommand*{\theenumi}{\Roman{enumi}}}
\newcommand*{\alphenumi}{\renewcommand*{\theenumi}{\alph{enumi}}}
\newcommand*{\Alphenumi}{\renewcommand*{\theenumi}{\Alph{enumi}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\title{Invariants de Witt des involutions de bas degré en
  caractéristique~2} 

\alttitle{Witt invariants of involutions of low degree
  in characteristic~2} 

\author{\firstname{Jean-Pierre} \lastname{Tignol}}

\address{ICTEAM, UCLouvain, 4 avenue G. Lemaître, boîte L4.05.01,
  B-1348 Louvain-la-Neuve, Belgique}

\email{Jean-Pierre.Tignol@uclouvain.be}
%

\thanks{Ce travail a bénéficié d'une subvention du Fonds de la
  Recherche Scientifique--FNRS portant la référence~CDR~J.0159.19.} 

 \CDRGrant[FNRS]{CDR~J.0159.19}


\subjclass{16W10, 11E81}

\keywords{\kwd{Algèbre simple centrale à involution} \kwd{composition de formes quadratiques} \kwd{formes quadratiques de Pfister}}

\altkeywords{\kwd{Central simple algebra with involution} \kwd{composition of quadratic forms} \kwd{quadratic Pfister forms}}




\begin{abstract} 
  À toute involution symplectique sur une algèbre simple centrale de
  degré~$8$ sur un corps de caractéristique~$2$ sont associées de
  manière canonique une $3$-forme de Pfister et une $5$-forme de
  Pfister quadratiques, qui détiennent des informations sur la
  structure de l'algèbre à involution. La même construction associe
  une $2$-forme de Pfister quadratique et une $4$-forme de Pfister
  quadratique à toute involution unitaire et une quasi $1$-forme de
  Pfister et une quasi $3$-forme de Pfister à toute involution
  orthogonale sur une algèbre simple centrale de degré~$4$.  
\end{abstract}

\begin{altabstract} 
  A $3$-fold and a $5$-fold quadratic Pfister forms are canonically
  associated to every symplectic involution on a central simple
  algebra of degree~$8$ over a field of characteristic~$2$.  The same construction on central simple algebras of degree~$4$ associates to every unitary involution a $2$-fold and a $4$-fold Pfister quadratic forms, and to every orthogonal involution a $1$-fold and a $3$-fold quasi-Pfister forms. These   forms hold structural information on the algebra with involution.
\end{altabstract}


\dateposted{2024-11-05}
\begin{document}


% Use the \maketitle command after the abstract
\maketitle

Dans tout ce texte, $A$ désigne une algèbre simple centrale sur un
corps $F$ et $\sigma$ une involution symplectique sur $A$,
c'est-à-dire un anti-automorphisme d'ordre~$2$ qui après extension des
scalaires à un corps de déploiement est adjoint à une forme bilinéaire
alternée non dégénérée. On note
\[
  \Symd(\sigma) = \left\{x+\sigma(x)\mid x \in  A\right\}
\]
et, pour $a\in\Symd(\sigma)$, on note $\Prp_{\sigma, a}(X)$ le
polynôme pfaffien réduit de $a$, qui est le polynôme unitaire dont le
carré est le polynôme caractéristique réduit $\Pcrd_a(X)$. Si $\deg
A=2m$, alors
\[
  \Prp_{\sigma,a}(X) = X^m
  -\Trp_\sigma(a)X^{m-1}+\Srp_\sigma(a)X^{m-2}-\cdots
  +(-1)^m\Nrp_\sigma(a)
\]
pour $\Trp_\sigma$, $\Srp_\sigma$ et $\Nrp_\sigma\colon\Symd(\sigma)\to
F$ des formes de degré~$1$, $2$ et $m$ respectivement.

\begin{theo}
  \label{th:symp}
  Si $\deg A=8$ et la caractéristique de $F$ est~$2$, alors
  il existe une $3$-forme quadratique de Pfister $\pi_3$ et une
  $5$-forme quadratique de Pfister $\pi_5$ déterminées de manière
  unique à isométrie près par la propriété suivante: la classe de
  $\Srp_\sigma$ dans le groupe de Witt $I_qF$ se
  décompose comme suit:
  \[
    \Srp_\sigma= [1,1] + \pi_3+\pi_5
  \]
  où $[1,1]$ est la forme $X^2+XY+Y^2$. De plus,
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item\label{theo1_i}
    $\pi_5$ est multiple de $\pi_3$, c'est-à-dire qu'il existe $a_1$,
  $a_2\in F^\times$ tels que
  $\pi_5=\langle1,a_1,a_2,a_1a_2\rangle\pi_3$;
\item\label{theo1_ii}
  la forme $\pi_3$ est hyperbolique si et seulement si l'algèbre
  $A$ se décompose en produit tensoriel d'algèbres de
  quaternions stables sous $\sigma$;
\item\label{theo1_iii}
  la forme $\pi_5$ est hyperbolique si et seulement si $\Symd(\sigma)$
  contient un élément non central dont le carré est central.
  \end{enumerate}
\end{theo}

La démonstration est donnée dans la section~\ref{sec:dem}: voir le
corollaire~\ref{coro:comp} et les propositions~\ref{prop:pi3} et
\ref{prop:pi5}. On peut cependant démontrer d'emblée 
l'unicité des formes $\pi_3$ et $\pi_5$: si
$\Srp_\sigma=[1,1]+\pi_3+\pi_5 = [1,1]+\pi'_3+\pi'_5$, alors
$\pi_3-\pi'_3=\pi'_5-\pi_5\in I^5_qF$; mais la classe de Witt de
$\pi_3-\pi'_3$ est représentée par une forme de dimension~$16$, donc
le \emph{Hauptsatz} d'Arason--Pfister \cite[théorème~23.7]{EKM} entraîne
$\pi_3=\pi'_3$, donc aussi $\pi_5=\pi'_5$.

La démonstration des autres assertions repose de manière essentielle
sur l'existence d'algèbres biquadratiques étales dans $\Symd(\sigma)$,
qui est démontrée dans \cite{BGBT1} et exploitée de manière analogue
dans~\cite{BGBT3}. Dans cette dernière référence, on trouve une
construction de la forme $\pi_3$ 
(qui y est appelée \emph{forme de Pfister discriminante}),
ainsi qu'une preuve du critère de décomposabilité correspondant, en
toute caractéristique. Dans le présent travail, la restriction à la
caractéristique~$2$ permet d'importantes simplifications ainsi que la
définition de la forme~$\pi_5$, qui ne semble pas admettre d'analogue
en caractéristique différente de~$2$.

Les techniques utilisées dans la démonstration du
théorème~\ref{th:symp} peuvent 
aussi servir pour les involutions unitaires et orthogonales sur les
algèbres simples centrales de degré~$4$: les résultats correspondants
sont détaillés dans les théorèmes~\ref{th:unit} et \ref{th:orth}
énoncés dans la dernière section. Comme dans le cas
symplectique, \cite{BGBT3} présente des constructions analogues, mais
limitées aux formes de Pfister
\guillemotleft\,discriminantes\,\guillemotright, en toute 
caractéristique 
dans le cas unitaire et en caractéristique différente de~$2$ dans le
cas orthogonal.

\section{La forme $\Srp_\sigma$}

Dans cette section, $\deg A=2m$ avec $m\geq1$ et la caractéristique de
$F$ est arbitraire. On note $\Trd_A$ la trace réduite de $A$ et
$\Srd_A$ la forme quadratique sur $A$ qui donne le
coefficient du terme de degré $2m-2$ du polynôme caractéristique réduit.

\begin{lemm}
  \label{lem:Srp}
  Pour $x$, $y\in \Symd(\sigma)$ avec $x=x'+\sigma(x')$ et
  $y=y'+\sigma(y')$, on a $\Trp_\sigma(x)=\Trd_A(x')$ et 
  \[
    \Srp_\sigma(x+y) - \Srp_\sigma(x) -
    \Srp_\sigma(y) = \Trp_\sigma(x)\Trp_\sigma(y)
    - \Trd_A(xy').
  \]
\end{lemm}

\begin{proof}
  Il suffit d'établir ces relations après extension des scalaires à un
  corps de déploiement. On peut donc supposer que $A$ est une algèbre
  de matrices et que $\sigma$ est adjointe à une forme alternée non
  dégénérée. Alors $x'$ et $y'$ sont obtenus par spécialisation de
  matrices génériques; il suffit donc de montrer que les
  relations valent lorsque $x'$ et $y'$ sont des matrices génériques
  sur $\bbZ$. En comparant les
  coefficients des deux membres de l'équation
  \[
    (X^m-\Trp_\sigma(x)X^{m-1}+\Srp_\sigma(x)X^{m-2}-\cdots)^2 =
    X^{2m}-\Trd_A(x)X^{2m-1}+\Srd_A(x)X^{2m-2}-\cdots
  \]
  on obtient
  \begin{equation}
    \label{eq:1}
    2\Trp_\sigma(x)=\Trd_A(x) \qquad\text{et}\qquad
    2\Srp_\sigma(x)+\Trp_\sigma(x)^2=\Srd_A(x).
  \end{equation}
  Or, $\Trd_A(x)=\Trd_A(x'+\sigma(x'))=2\Trd_A(x')$, donc
  $2\Trp_\sigma(x)=2\Trd_A(x')$. Comme $2$ n'est pas un diviseur de
  zéro dans $\bbZ$, il en résulte $\Trp_\sigma(x)=\Trd_A(x')$.

  Par ailleurs, la relation suivante est établie en~\cite[(0.2)]{BoI}:
  \[
    \Srd_A(x+y)-\Srd_A(x)-\Srd_A(y) = \Trd_A(x)\Trd_A(y)-
    \Trd_A(xy).
  \]
  En y remplaçant $\Srd_A(x+y)$, $\Srd_A(x)$ et $\Srd_A(y)$
  par les expressions données par la deuxième équation
  de~\eqref{eq:1}, on obtient
  \[
    2\Srp_\sigma(x+y)-2\Srp_\sigma(x)-2\Srp_\sigma(y) +
    2\Trp_\sigma(x)\Trp_\sigma(y) =
    \Trd_A(x)\Trd_A(y)-\Trd_A(xy).
  \]
  Vu la première équation de~\eqref{eq:1}, et vu que $\Trd_A(xy) =
  \Trd_A(xy') + \Trd_A(x\sigma(y'))=2\Trd_A(xy')$ (la dernière égalité
  résultant du fait que $x=\sigma(x)$), on en déduit
  \[
    2\Srp_\sigma(x+y)-2\Srp_\sigma(x)-2\Srp_\sigma(y) =
    2\Trp_\sigma(x) \Trp_\sigma(y) - 2\Trd_A(xy').
  \]
  La deuxième formule de l'énoncé en découle car $2$ n'est pas
  diviseur de zéro dans $\bbZ$.
\end{proof}

Soit $b_\sigma\colon\Symd(\sigma)\times\Symd(\sigma)\to F$ la forme
polaire de $\Srp_\sigma$, donnée par
\[
  b_\sigma(x,y) = \Srp_\sigma(x+y)-\Srp_\sigma(x) -
  \Srp_\sigma(y)
  \quad\text{pour $x$, $y\in\Symd(\sigma)$.}
\]
La forme quadratique $\Srp_\sigma$ est dite non singulière lorsque le
radical de sa forme polaire $b_\sigma$ est réduit à $\{0\}$.

\begin{coro}
  \label{coro:nondeg}
  Si la caractéristique de $F$ ne divise pas $m-1$, la forme
  $\Srp_\sigma$ est non singulière.
\end{coro}

\begin{proof}
  Si $x$ est dans le radical de $b_\sigma$, c'est-à-dire que
  $b_\sigma(x,y)=0$ pour tout $y\in\Symd(\sigma)$, alors le
  lemme~\ref{lem:Srp} donne
  \[
    \Trp_\sigma(x)\Trd_A(y') - \Trd_A(xy')=0
    \qquad\text{pour tout $y'\in A$.}
  \]
  Alors $\Trd_A\bigl((\Trp_\sigma(x)-x)y'\bigr)=0$ pour tout $y'\in
  A$. Comme le radical de la forme bilinéaire $\Trd_A(XY)$ est nul, il
  en découle $x=\Trp_\sigma(x)\in F$. Or, $\Trp_\sigma(x)=mx$
  pour $x\in F$, donc la dernière équation entraîne $(m-1)x=0$,
  d'où $x=0$ si $m-1$ est inversible dans $F$.
\end{proof}

\section{Décomposition orthogonale}
\label{sec:orth}

Dans cette section, on suppose $\deg A=8$ mais on n'impose aucune
restriction sur la caractéristique de $F$. D'après~\cite[théorème~7.4,
théorème~4.1]{BGBT1} on peut trouver dans $\Symd(\sigma)$ une $F$-algèbre
étale $L$ qui est produit tensoriel de deux $F$-algèbres étales
quadratiques et telle que $A$ est libre comme $L$-module. Comme le
Vierergruppe est le seul sous-groupe abélien élémentaire du groupe de
permutations de quatre éléments qui agisse
transitivement, il y a une unique manière (à automorphisme du groupe
près) de
définir sur $L$ une action d'un groupe $G$ abélien élémentaire qui en
fait une $F$-algèbre $G$-galoisienne. Soit
\[
  G=\{1,\,\alpha_1,\,\alpha_2,\,\alpha_3\} \qquad\text{où
    $\alpha_1^2=\alpha_2^2=\alpha_3^2=1$}.
\]
Pour $i=1$, $2$, $3$ on note $L_i=L^{\alpha_i}$ la sous-algèbre de $L$
fixe sous $\alpha_i$. C'est une $F$-algèbre quadratique étale, dont on
note $T_i\colon L_i\to F$ et $N_i\colon L_i\to F$ la trace et la
norme. On définit aussi
\[
  W_i=\{x\in\Symd(\sigma)\mid x\ell = \alpha_i(\ell)x \text{ pour tout
    $\ell\in L$}\}.
\]
La multiplication dans $A$ fait de chaque $W_i$ un module à droite sur
$L_i$. 

\begin{prop}
  \label{prop:decorth}
  Pour la forme polaire $b_\sigma$ de $\Srp_\sigma$, l'espace
  $\Symd(\sigma)$ se décompose en somme orthogonale:
  $\Symd(\sigma)=L\stackrel{\perp}{\oplus} W_1
  \stackrel{\perp}{\oplus} W_2 \stackrel{\perp}{\oplus}W_3$.
  De plus, pour chaque $i=1$, $2$, $3$ le $L_i$-module $W_i$ est libre
  de rang~$4$ et l'élévation au carré $x\mapsto x^2$ définit une forme
  quadratique non singulière $\sq_i\colon W_i\to L_i$. Pour $x\in W_i$
  on a $\Trp_\sigma(x)=0$ et 
  $\Srp_\sigma(x)=-T_i(x^2)$, quel que soit $i=1$, $2$, $3$.
\end{prop}

\begin{proof}
  Il suffit de voir que les énoncés valent après extension des
  scalaires. On peut donc supposer que $A$ et $L$ sont déployées: soit
  $A=\End_FV$ pour un espace vectoriel $V$ de dimension~$8$ et
  $L=Fp_1\oplus Fp_2\oplus Fp_3\oplus Fp_4$ où $p_1$, \ldots, $p_4$
  sont des projections de $V$ sur des sous-espaces $V_1$, \ldots,
  $V_4$ supplémentaires, c'est-à-dire que $V=V_1\oplus\cdots\oplus
  V_4$. Comme $A$ est libre comme $L$-module, les $V_i$ sont tous de
  même dimension, donc $\dim V_i=2$ pour tout~$i$.

  L'involution $\sigma$ est adjointe à une forme bilinéaire alternée
  non singulière sur $V$. Comme chaque $p_i$ est symétrique sous
  $\sigma$, les espaces $V_i$ sont orthogonaux deux à deux. En
  concaténant des bases symplectiques de ceux-ci, on obtient une base
  symplectique de $V$, par rapport à laquelle on peut représenter $A$
  par des matrices: $A=M_8(F)$. Pour la facilité des calculs, on
  décompose les matrices en blocs d'ordre~$2$, ce qui conduit à
  représenter $A=M_4(Q)$ où $Q=M_2(F)$ est l'algèbre de quaternions
  déployée. Dans cette représentation, $\sigma$ est donnée par
  $\sigma(a)=\bar{a}^t$, où $t$ est la transposition et $\invo$
  est la conjugaison de $Q$ (qui est son unique involution
  symplectique), agissant sur chaque entrée des matrices de
  $M_4(Q)$. L'algèbre $L$ est alors identifiée à l'algèbre diagonale
  dont les entrées sont dans $F$: pour $x_1$, \ldots, $x_4\in F$
  \[
    x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3+x_4p_4 = \diag(x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4)
    \in M_4(Q).
  \]
  En utilisant $\Symd(\,\invo\,)=F$ dans $Q$, on vérifie sans peine:
  \[
    \Symd(\sigma) = \left\{
      \begin{pmatrix}
        x_1&x_{12}&x_{13}&x_{14}\\
        \bar{x_{12}}&x_2&x_{23}&x_{24}\\
        \bar{x_{13}}&\bar{x_{23}}&x_3&x_{34}\\
        \bar{x_{14}}&\bar{x_{24}}&\bar{x_{34}}&x_4
      \end{pmatrix}
      \;\middle|\;
      x_i\in F \text{ et } x_{ij}\in Q
      \right\}
      .
    \]
    Quitte à renuméroter les $p_i$, on peut supposer que $\alpha_1$
    échange $p_1$ et $p_2$ (donc aussi $p_3$ et $p_4$) et que
    $\alpha_2$ échange $p_1$ et $p_3$ (donc aussi $p_2$ et
    $p_4$). Alors
    \begin{align*}
      L_1&=\{\diag(x_1,\,x_1,\,x_2,\,x_2)\mid x_1,\;x_2\in F\},
      \\
      L_2&=\{\diag(x_1,\,x_2,\,x_1,\,x_2)\mid x_1,\;x_2\in F\},
      \\
      L_3&=\{\diag(x_1,\,x_2,\,x_2,\,x_1)\mid x_1,\;x_2\in F\}.
    \end{align*}
    Le calcul donne
    \[
      W_1 = \left\{
      \begin{pmatrix}
        0&x_{12}&&\\
        \bar{x_{12}}&0&&\\
        &&0&x_{34}\\
        &&\bar{x_{34}}&0
      \end{pmatrix}
      \;\middle|\;
      x_{12}, x_{34}\in Q
    \right\},
    \qquad
    W_2 = \left\{
      \begin{pmatrix}
        &&x_{13}&0\\
        &&0&x_{24}\\
        \bar{x_{13}}&0&&\\
        0&\bar{x_{24}}&&
      \end{pmatrix}
      \;\middle|\;
      x_{13}, x_{24}\in Q
    \right\}
  \]
  et
  \[
    W_3 = \left\{
      \begin{pmatrix}
        &&0&x_{14}\\
        &&x_{23}&0\\
        0&\bar{x_{23}}&&\\
        \bar{x_{14}}&0&&
      \end{pmatrix}
      \;\middle|\;
      x_{14}, x_{23}\in Q
    \right\}.
  \]
  Il est donc clair que $\Symd(\sigma)=L\oplus W_1\oplus W_2\oplus
  W_3$. On voit aussi que pour tout $i=1$, $2$, $3$ le $L_i$-module
  $W_i$ est isomorphe à $Q_{L_i}\simeq M_2(F)\times M_2(F)$ et que
  $\sq_i$ est une forme quadratique isométrique à $(n_Q)_{L_i}$, où
  $n_Q\colon Q\to F$ est la norme réduite (qui est le déterminant de
  $M_2(F)$); cette forme quadratique est donc non singulière.

  Pour $x\in W_i$ on peut
  écrire $x=x'+\sigma(x')$ avec $x'\in M_4(Q)$ une matrice
  triangulaire dont la diagonale est nulle. Le lemme~\ref{lem:Srp}
  donne alors $\Trp_\sigma(x)=\Trd_A(x')=0$. Pour $y\in W_j$ avec
  $j\neq i$ ou $y\in L$ on a aussi $\Trd_A(x'y)=0$, donc le
  lemme~\ref{lem:Srp} donne aussi $b_\sigma(x,y)=0$, ce qui établit
  que $L$, $W_1$, $W_2$ et $W_3$ sont orthogonaux deux à deux.

  Un calcul direct montre que le polynôme caractéristique réduit de $
  \bigl(\begin{smallmatrix}
    0&x\\ \bar x&0
  \end{smallmatrix}\bigr)\in M_2(Q)$ est\break $(X^2-n_Q(x))^2$. Dès
  lors, pour
  \[
    x=
    \begin{pmatrix}
        0&x_{12}&&\\
        \bar{x_{12}}&0&&\\
        &&0&x_{34}\\
        &&\bar{x_{34}}&0
      \end{pmatrix}\in W_1,\qquad\text{avec $x_{12}$, $x_{34}\in Q$,}
    \]
    on a $\Prp_{\sigma,x}(X)=(X^2-n_Q(x_{12}))(X^2-n_Q(x_{34}))$, donc
    $\Srp_\sigma(x)=-n_Q(x_{12})-n_Q(x_{34}) = -T_1(x^2)$. On démontre
    de même que $\Srp_\sigma(x)=-T_i(x^2)$ pour $x\in W_i$ avec $i=2$
    ou $3$.
\end{proof}

\section{Démonstration du théorème~\ref{th:symp}}
\label{sec:dem}

Poursuivant avec les mêmes notations que dans la section précédente,
on suppose à présent que la caractéristique de~$F$ est~$2$. D'après le
corollaire~\ref{coro:nondeg}, la forme quadratique $\Srp_\sigma$ est
non singulière; il en est donc de même de ses restrictions aux espaces
$W_i$, vu la proposition~\ref{prop:decorth}.

\begin{prop}
  \label{prop:compo}
  Pour $x_1\in W_1$ et $x_2\in W_2$, on pose
  $x_1*x_2=x_1x_2+x_2x_1$. Alors $x_1*x_2\in W_3$ et
  $\Srp_\sigma(x_1*x_2) = \Srp_\sigma(x_1)\Srp_\sigma(x_2)$.
\end{prop}

\begin{proof}
  Il suffit de voir que l'énoncé vaut après extension des
  scalaires. On peut donc supposer que $L$ et $A$ sont déployées, et
  reprendre les notations de la démonstration de la
  proposition~\ref{prop:decorth}. Si $x_{12}$, $x_{34}$, $x_{13}$,
  $x_{24}\in Q$ sont tels que
  \[
    x_1=
    \begin{pmatrix}
        0&x_{12}&&\\
        \bar{x_{12}}&0&&\\
        &&0&x_{34}\\
        &&\bar{x_{34}}&0
      \end{pmatrix}\in W_1
      \quad\text{et}\quad
      x_2=
      \begin{pmatrix}
        &&x_{13}&0\\
        &&0&x_{24}\\
        \bar{x_{13}}&0&&\\
        0&\bar{x_{24}}&&
      \end{pmatrix}\in W_2,
    \]
    alors
    \[
      x_1*x_2 =
      \begin{pmatrix}
        &&&x_{12}x_{24}+x_{13}x_{34}\\
        &&\bar{x_{12}}x_{13}+x_{24}\bar{x_{34}}&\\
        &x_{34}\bar{x_{24}}+\bar{x_{13}}x_{12}&&\\
        \bar{x_{34}}\;\bar{x_{13}} + \bar{x_{24}}\;
        \bar{x_{12}} &&&
      \end{pmatrix}\in W_3.
    \]
    De plus, il ressort de la preuve de la
    proposition~\ref{prop:decorth} que
    \[
      \Srp_\sigma(x_1)=n_Q(x_{12})+n_Q(x_{34}),\qquad
      \Srp_\sigma(x_2)=n_Q(x_{13})+n_Q(x_{24})
    \]
    et
    \[
      \Srp_\sigma(x_1*x_2) = n_Q(x_{12}x_{24}+x_{13}x_{34}) +
      n_Q(\bar{x_{12}}x_{13}+x_{24}\bar{x_{34}}).
    \]
    On développe le second membre de cette dernière équation: en
    notant $t_Q\colon Q\to F$ la trace réduite (qui est la trace de
    $M_2(F)$), 
    \begin{multline*}
      \Srp_\sigma(x_1*x_2) 
      \\
      = n_Q(x_{12}x_{24}) + n_Q(x_{13}x_{34}) +
      t_Q(x_{12}x_{24}\bar{x_{34}}\;\bar{x_{13}}) +
      n_Q(\bar{x_{12}}x_{13}) + n_Q(x_{24}\bar{x_{34}}) +
      t_Q(\bar{x_{12}}x_{13}x_{34}\bar{x_{24}}).
    \end{multline*}
    Or, $t_Q(x_{12}x_{24}\bar{x_{34}}\;\bar{x_{13}})=
    t_Q(\bar{x_{12}}x_{13}x_{34}\bar{x_{24}})$. Comme la
    caractéristique est~$2$, l'expression de\break $\Srp_\sigma(x_1*x_2)$ se
    simplifie:
    \[
      n_Q(x_{12}x_{24}) + n_Q(x_{13}x_{34})+
      n_Q(\bar{x_{12}}x_{13}) + n_Q(x_{24}\bar{x_{34}}) =
      \bigl(n_Q(x_{12})+n_Q(x_{34})\bigr) \cdot
      \bigl(n_Q(x_{13})+n_Q(x_{24})\bigr).
      \qedhere
    \]  
\end{proof}

\begin{coro}
  \label{coro:comp}
  Il existe une $3$-forme quadratique de Pfister~$\pi_3$ et des
  éléments $a_1$, $a_2\in F^\times$ tels que les restrictions de
  $\Srp_\sigma$ à $W_1$, $W_2$ et $W_3$ soient liées par
  \[
    \Srp_\sigma\rvert_{W_1}\simeq \langle a_1\rangle \pi_3,
    \qquad
    \Srp_\sigma\rvert_{W_2}\simeq \langle a_2\rangle \pi_3,
    \qquad
    \Srp_\sigma\rvert_{W_3}\simeq \langle a_1a_2\rangle \pi_3.
  \]
  Pour la forme $\pi_3$ et $a_1$, $a_2$ ci-dessus, la classe de Witt
  de $\Srp_\sigma$ se décompose comme suit: $\Srp_\sigma=[1,1]+\pi_3 +
  \langle1,a_1,a_2,a_1a_2\rangle \pi_3$.
\end{coro}

\begin{proof}
  La proposition~\ref{prop:compo} montre que $*$ est une composition
  de formes quadratiques non singulières de dimension~$8$:
  $(W_1,\Srp_\sigma\rvert_{W_1}) \times
  (W_2,\Srp_\sigma\rvert_{W_2})\to (W_3,\Srp_\sigma\rvert_{W_3})$ au
  sens de~\cite[section~2]{BT}. Les formes
  $\Srp_\sigma\rvert_{W_i}$ sont donc multiples scalaires d'une même
  $3$-forme 
  de Pfister $\pi_3$, d'après~\cite[proposition~2.9]{BT}. Si $x_1\in W_1$ et
  $x_2\in W_2$ sont des 
  vecteurs non nuls et non
  isotropes, alors en posant $a_i=\Srp_\sigma(x_i)$ pour $i=1$, $2$,
  on a $\Srp_\sigma\rvert_{W_i}\simeq\langle a_i\rangle\pi_3$ pour
  $i=1$, $2$. De plus, $\Srp_\sigma\rvert_{W_3}$ représente $a_1a_2$
  puisque $\Srp_\sigma(x_1*x_2)=\Srp_\sigma(x_1)\Srp_\sigma(x_2)$,
  donc $\Srp_\sigma\rvert_{W_3}\simeq\langle a_1a_2\rangle \pi_3$.
  Vu la proposition~\ref{prop:decorth}, on obtient
  \[
    \Srp_\sigma\simeq \Srp_\sigma\rvert_L \perp \langle a_1\rangle
    \pi_3 \perp \langle a_2\rangle \pi_3 \perp \langle a_1a_2\rangle
    \pi_3,
  \]
  et il ne reste plus qu'à voir que $\Srp_\sigma\rvert_L$ est
  équivalente au sens de Witt à $[1,1]$. Cela résulte du calcul
  général de la \guillemotleft\, seconde trace\,\guillemotright\ des
  algèbres étales dû à Bergé et Martinet~\cite[théorème~3.5]{BM}, mais en
  l'occurrence on peut en donner une preuve explicite comme suit.

  Si $\ell_1\in L_1$ est tel que $T_1(\ell_1)=1$, alors
  \[
    \Prp_{\sigma,\ell_1}(X) = \bigl(X^2+X+N_1(\ell_1)\bigr)^2,
  \]
  donc $\Srp_\sigma(\ell_1)=1=\Srp_\sigma(\ell_1+1)$. De même, si
  $\ell_2\in L_2$ est tel que $T_2(\ell_2)=1$, alors
  \[
    \Srp_\sigma(\ell_2)=\Srp_\sigma(\ell_2+1)=1;
  \]
  de plus, $\ell_1+\ell_2\in L_3$ et $T_3(\ell_1+\ell_2)=1$, donc
  \[
    \Srp_\sigma(\ell_1+\ell_2)=\Srp_\sigma(\ell_1+\ell_2+1)=1.
  \]
  Ces égalités entraînent que
  $\Srp_\sigma(\ell_1+\ell_2)-\Srp_\sigma(\ell_1) -
  \Srp_\sigma(\ell_2)=1$, donc la restriction de $\Srp_\sigma$ au
  sous-espace de $L$ engendré par $\ell_1$ et $\ell_2$ est une forme
  quadratique isométrique à $[1,1]$. L'orthogonal de ce sous-espace
  contient~$1$ car $\Srp_\sigma(1)=0$, $\Srp_\sigma(\ell_1+1) =
  \Srp_\sigma(\ell_1)$ et
  $\Srp_\sigma(\ell_2+1)=\Srp_\sigma(\ell_2)$. Comme~$1$ est isotrope,
  on en déduit
  \[
    \Srp_\sigma\rvert_L\simeq [1,1]\perp [0,0].
    \qedhere
  \]
\end{proof}

\begin{exam}
  \label{exam:ind2}
  Supposons $A=\End_QV$ pour $V$ un espace vectoriel de dimension~$4$
  sur un corps de quaternions $Q$. Alors $\sigma$ est adjointe à une
  forme hermitienne alternée $h$ sur $V$ pour l'involution
  canonique~$\invo$ sur $Q$: voir \cite[(4.2)]{BoI}. On peut supposer
  que $h$ représente~$1$ car $h$ n'est
  déterminée qu'à un facteur scalaire près, et choisir une base de $V$
  par rapport à laquelle 
  $h$ est diagonale, soit $h=\langle1,u_1,u_2,u_3\rangle$ pour
  certains 
  $u_1$, $u_2$, $u_3\in F^\times$. On peut prendre pour $L$ la
  $F$-algèbre déployée engendrée par les projections $p_1$, $p_2$,
  $p_3$, $p_4$ sur les vecteurs de base. Si $\alpha_1$ échange $p_1$
  et $p_2$, ainsi que $p_3$ et $p_4$, alors un calcul semblable à
  celui de la démonstration de la proposition~\ref{prop:decorth}
  montre que dans 
  la représentation matricielle par rapport à la base choisie,
  \[
    W_1=\left\{
      \begin{pmatrix}
        0&u_1x&&\\ \bar x&0&&\\ &&0&u_3y\\ &&u_2
        \bar{y}&0 
      \end{pmatrix}
      \;\middle|\;
      x, y\in Q
    \right\}.
  \]
  Dès lors, en désignant par $n_Q$ la forme norme réduite de~$Q$, on
  obtient $\Srp_\sigma\rvert_{W_1}\simeq\langle u_1,u_2u_3\rangle
  n_Q$. De même, si $\alpha_2$ échange $p_1$ et $p_3$ ainsi que $p_2$
  et $p_4$, alors $\Srp_\sigma\rvert_{W_2}\simeq \langle
  u_2,u_1u_3\rangle n_Q$ et $\Srp_\sigma\rvert_{W_3}\simeq \langle
  u_3, u_1u_2\rangle n_Q$. Par conséquent,
  \[
    \pi_3=\langle1,u_1u_2u_3\rangle n_Q \qquad\text{et}\qquad
    \pi_5=\langle1,u_1,u_2,u_3\rangle \pi_3.
  \]
  Ce résultat corrobore le calcul dans~\cite[proposition~8.6]{BGBT3} de la
  forme de Pfister discriminante $\pi_3$.
  % On remarque que si $\pi_3$ est hyperbolique alors $u_1u_2u_3$ est
  % une 
  % norme de $Q$, donc $h$ admet aussi pour diagonalisation
  % $\langle1,u_1\rangle \langle1,u_2\rangle n_Q$. Cela entraîne une
  % décomposition $(A,\sigma)\simeq(M_2(F),\rho_1)\otimes(M_2(F),\rho_2)
  % \otimes(Q,\invo)$, où $\rho_i$ est l'involution orthgonale adjointe
  % à $\langle1,u_i\rangle$ pour $i=1$, $2$.
\end{exam}

Revenant au cas général, on caractérise les cas où $\pi_3$ est
hyperbolique.

\goodbreak
\begin{prop}
  \label{prop:pi3}
  Les conditions suivantes sont équivalentes:
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item\label{prop8_i}
    $\pi_3$ est hyperbolique;
  \item\label{prop8_ii}
    $(A,\sigma)\simeq(H_1,\sigma_1)\otimes (H_2,\sigma_2) \otimes
    (H_3,\sigma_3)$ pour certaines algèbres de quaternions à
    involution $(H_i,\sigma_i)$;
  \item\label{prop8_iii}
    $(A,\sigma)\simeq(Q_1,\invo) \otimes (Q_2,\invo) \otimes
    (Q_3,\invo)$ pour certaines algèbres de quaternions $Q_i$ avec
    leur involution canonique.
  \end{enumerate}
\end{prop}

\begin{proof}\ \relax

  \begin{proof}[\ref{prop8_i}${}\Rightarrow{}$\ref{prop8_ii}] On choisit dans $\Symd(\sigma)$ une
  $F$-algèbre biquadratique $L$ comme dans la
  section~\ref{sec:orth}. Sous 
  l'hypothèse~\ref{prop8_i}, la forme $\Srp_\sigma\rvert_{W_1}$ est isotrope, donc on peut trouver $x\in W_1$ non nul tel que $T_1(x^2)=0$, ce qui revient à dire que $x^2\in F$. Si $x^2=0$, alors la forme
  quadratique $\sq_1\colon W_1\to L_1$ d'élévation au carré est
  isotrope; mais la proposition~\ref{prop:decorth} montre que cette
  forme est non singulière, donc on peut trouver $y\in W_1$ tel que
  $xy+yx\in L_1^\times$. Alors pour $\lambda=(y^2+1)(xy+yx)^{-1}\in
  L_1$ on a $(x\lambda+y)^2=1$. Quitte à changer $x$, on peut donc
  toujours supposer $x^2\in 
  F^\times$. Comme la conjugaison par $x$ induit sur $L_2$
  l'automorphisme non trivial, $x$ et $L_2$ engendrent une algèbre de
  quaternions $H_1$ stable sous $\sigma$. La restriction $\sigma_1$ de
  $\sigma$ à $H_1$ est orthogonale: en effet, si $\ell\in L_2$
  satisfait $T_2(\ell)=1$, alors $x\ell+\ell x=x\ell +
  \sigma_1(x\ell)=x$, ce qui montre que $x$ est dans
  $\Symd(\sigma_1)$, donc $\Symd(\sigma_1)\neq F$. Le centralisateur
  de $H_1$ dans $A$ est une  
  algèbre simple centrale de degré~$4$ sur laquelle $\sigma$ se
  restreint en une involution symplectique,
  d'après~\cite[(2.23)]{BoI}. Pour établir~\ref{prop8_ii}, il suffit maintenant d'observer que ce centralisateur se décompose en produit de deux algèbres de quaternions stables sous l'involution; cela résulte
  de~\cite[(16.16)]{BoI} si la restriction de $\sigma$ n'est pas
  hyperbolique, et de~\cite[proposition~5.3]{BGBT3} si elle l'est.
\let\qed\relax
\end{proof}

  \begin{proof}[\ref{prop8_ii}${}\Rightarrow{}$\ref{prop8_iii}]
 Sous l'hypothèse~\ref{prop8_ii}, l'une au moins des
  involutions $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$ doit être
  symplectique, vu \cite[(2.23)]{BoI}. Disons $\sigma_1=\invo$ et
  supposons que $\sigma_2$ soit
  orthogonale. D'après~\cite[(2.7)]{BoI}, il existe un élément
  inversible non central $j_2\in H_2$ tel que $\bar{j_2}=j_2$ et
  $\sigma_2(h)=j_2\bar h j_2^{-1}$ pour tout $h\in H_2$. Ces
  conditions entraînent $j_2^2\in F^\times$, $\sigma_2(j_2)=j_2$, et
  pour $i_2\in H_2$ tel que $j_2i_2j_2^{-1}=i_2+1$, on a
  $\sigma_2(i_2)=i_2$. Choisissons encore $i_1$, $j_1\in H_1$ tels que
  $j_1^2\in F^\times$ et $j_1i_1j_1^{-1}=i_1+1$, d'où
  $\sigma_1(i_1)=i_1+1$ puisque $\sigma_1$ est la conjugaison
  quaternionienne. 
  Alors $i_1$ et $j_1j_2$ (resp.\
  $i_1+i_2$ et 
  $j_2$) engendrent une algèbre de quaternions $Q_1$ (resp.\ $Q_2$) et
  $(H_1,\sigma_1)\otimes(H_2,\sigma_2) = (Q_1,\invo)\otimes
  (Q_2,\invo)$. Si $\sigma_3$ est orthogonale, on répète l'argument
  pour trouver une nouvelle décomposition de $(A,\sigma)$ en produit
  d'algèbres de quaternions sur chacune desquelles la restriction de
  $\sigma$ est l'involution canonique.
\let\qed\relax
\end{proof}

  \begin{proof}[\ref{prop8_iii}${}\Rightarrow{}$\ref{prop8_i}]
 Pour $k=1$, $2$, $3$, soient $i_k$, $j_k\in
  Q_k$ tels que $j_k^2\in F^\times$ et $j_ki_kj_k^{-1}=i_k+1$. Alors
  $L=F(i_1+i_2, i_2+i_3, i_3+i_1)$ est une algèbre biquadratique comme
  dans la section~\ref{sec:orth}. Si $\alpha_1$ est l'automorphisme
  non trivial de $L$ qui fixe $i_2+i_3$, alors $j_1\in W_1$ et
  $T_1(j_1^2)=0$, donc $\Srp_\sigma\rvert_{W_1}$ est isotrope, et il
  en est de même de $\pi_3$. Comme $\pi_3$ est une forme de Pfister,
  elle est hyperbolique.
\end{proof}
\let\qed\relax
\end{proof}

Comme toute involution symplectique hyperbolique est décomposable
(voir~\cite[proposition~6.1]{BGBT3}), on tire immédiatement de la
proposition précédente:

\begin{coro}
  \label{coro:pi3hyp}
  Si $(A,\sigma)$ est hyperbolique, alors $\pi_3$ est hyperbolique.
\end{coro}

On caractérise enfin les cas où $\pi_5$ est hyperbolique, en
commençant par l'observation suivante:

\begin{lemm}
  \label{lemm:pi5isot}
  Si $(A,\sigma)$ est isotrope, alors $\pi_5$ est hyperbolique.
\end{lemm}

\begin{proof}
  Si $(A,\sigma)$ est isotrope, alors $A$ n'est pas à division. Si son
  indice est~$1$ ou son co-indice est~$2$, alors
  $(A,\sigma)$ est hyperbolique, et le corollaire~\ref{coro:pi3hyp}
  montre que $\pi_3$ est hyperbolique. Il en est donc de même de
  $\pi_5$, puisque $\pi_5$ est multiple de $\pi_3$. Il ne reste donc
  qu'à étudier le cas où l'indice de $A$ est~$2$. On est alors dans la
  situation de l'exemple~\ref{exam:ind2}, où l'on a vu que $\pi_5$ est
  un multiple de $\langle1,u_1,u_2,u_3\rangle n_Q$. Or, cette dernière
  forme quadratique est la forme diagonale $h(X,X)$ pour la forme
  hermitienne 
  $h=\langle1,u_1,u_2,u_3\rangle$ à laquelle $\sigma$ est
  adjointe. Puisque $(A,\sigma)$ est isotrope, 
  la forme $h$ est isotrope, donc aussi sa forme diagonale, ce qui
  entraîne que $\pi_5$ est isotrope, donc hyperbolique puisque c'est
  une forme de Pfister.
\end{proof}

Remarquons que les réciproques du corollaire~\ref{coro:pi3hyp} et du
lemme~\ref{lemm:pi5isot} ne valent pas: si les 
conditions de la proposition~\ref{prop:pi3} sont satisfaites, alors
$\pi_3$ est hyperbolique, donc $\pi_5$ l'est aussi, puisque $\pi_5$
est multiple de $\pi_3$; mais l'algèbre $A$ peut être à division.

\begin{prop}
  \label{prop:pi5}
  La forme $\pi_5$ est hyperbolique si et seulement si $\Symd(\sigma)$
  contient un élément $x\notin F$ tel que $x^2\in F$.
\end{prop}

\begin{proof}
  Supposons d'abord $\pi_5$ hyperbolique, et choisissons une
  $F$-algèbre biquadratique $L\subset\Symd(\sigma)$ comme dans la
  section~\ref{sec:orth} pour représenter
  $\pi_5=\langle1,a_1,a_2,a_1a_2\rangle\pi_3$ suivant le
  corollaire~\ref{coro:comp}. Comme $\pi_5$ contient la forme
  $\langle1\rangle\perp 
  \Srp_\sigma\rvert_{W_1}\perp \Srp_\sigma\rvert_{W_2}$, dont la
  dimension dépasse la moitié de celle de $\pi_5$, il existe $y\in
  W_1\oplus W_2$ tel que $\Srp_\sigma(y)=1$. Vu la
  proposition~\ref{prop:decorth}, on a $\Trp_\sigma(y)=0$, donc
  $\Prp_{\sigma,y}(X) = X^4+X^2+U(y)X+\Nrp_\sigma(y)$ pour une
  certaine forme cubique $U\colon \Symd(\sigma)\to F$. Si $\ell\in
  L_3$ est tel que $T_3(\ell)=1$, alors $y\ell+\ell y=y$ et
  $y^2\ell=\ell y^2$. En utilisant ces relations, on voit que
  $U(y)y=\Prp_{\sigma,y}(y)\ell + \ell\Prp_{\sigma,y}(y)$, donc
  $U(y)y=0$ et par conséquent $y^4+y^2=\Nrp_\sigma(y)\in F$.

  Si $y^2\in F$, disons $y^2=\lambda\in F$, alors le polynôme minimal
  de $y$ sur $F$ est $X^2-\lambda$, donc $\Prp_{\sigma,y}(X) =
  (X^2-\lambda)^2$, ce qui est incompatible avec
  $\Srp_\sigma(y)=1$. Par conséquent, $y^2\notin F$. De plus,
  $y^2\notin L_3$ puisque $y$ commute avec 
  $y^2$ mais ne centralise pas $L_3$. Dès lors, $L_3[y^2] =
  L_3\otimes_FF[y^2]$ est une $F$-algèbre biquadratique étale contenue
  dans $\Symd(\sigma)$. Vu sa dimension, c'est une $F$-algèbre étale
  maximale dans $\Symd(\sigma)$, donc par~\cite[proposition~5.6]{BGBT1} elle
  satisfait 
  les conditions énoncées au début de la section~\ref{sec:orth}. On la
  note $L'$ et on s'autorise à utiliser en référence à $L'$ les mêmes
  structures que celles définies pour $L$, en affectant leur notation
  d'un $'$ pour les distinguer. Si la numérotation des éléments du
  groupe de Galois de $L'$ est telle que $F[y^2]=L'_1$, alors $y\in
  W'_1$. Pour tout $w'_2\in W'_2$ on a $y*w'_2\in W'_3$ et
  $\Srp_\sigma(y*w'_2)=\Srp_\sigma(w'_2)$ par la
  proposition~\ref{prop:compo}. Choisissant $w'_2\neq0$, on pose
  $z=w'_2+(y*w'_2)$. Alors $\Srp_\sigma(z) =
  \Srp_\sigma(w'_2)+\Srp_\sigma(y*w'_2)=0$ puisque $W'_2$ et $W'_3$
  sont orthogonaux. Les mêmes arguments que pour $y$ donnent
  $\Trp_\sigma(z)=U(z)=0$, donc $z^4=\Nrp_\sigma(z)\in F$. Si $z^2\in
  F$, on choisit $x=z$; si $z^2\notin F$, on prend $x=z^2$. Dans un
  cas comme dans l'autre, on a $x\notin F$ et $x^2\in F$.

  Réciproquement, supposons donné $x\in\Symd(\sigma)\setminus F$ tel
  que $x^2\in F$. Si $x^2=\lambda^2$ pour un $\lambda\in F$, alors
  $\sigma(x-\lambda)\cdot(x-\lambda) = (x-\lambda)^2=0$, donc
  $(A,\sigma)$ est isotrope. Dans ce cas, le lemme~\ref{lemm:pi5isot}
  montre que $\pi_5$ est hyperbolique. Pour la suite du raisonnement,
  on peut donc supposer que $F(x)$ est un corps, extension quadratique
  purement 
  inséparable de $F$. On note $K=F(x)$ et $B$ le
  centralisateur de $K$ dans $A$, qui est une algèbre simple centrale
  de degré~$4$ sur $K$. Comme $K\subset\Symd(\sigma)$, la
  restriction $\sigma_B$ de $\sigma$ à $B$ est une involution
  symplectique, vu~\cite[proposition~4.5]{RST}. Par \cite[(16.16)]{BoI} si
  $\sigma_B$ n'est pas hyperbolique et par \cite[proposition~5.3]{BGBT3} si
  $\sigma_B$ est hyperbolique, on
  peut donc décomposer:
  \[
    (B,\sigma_B) = (Q_1,\sigma_1)\otimes_K(Q_2,\invo),
  \]
  où $Q_1$ et $Q_2$ sont des algèbres de quaternions sur $K$ et
  $\sigma_1$ est une involution orthogonale sur $Q_1$. On peut alors
  trouver dans $Q_1$ des éléments $\sigma_1$-symétriques $i_1$, $j_1$
  tels que $i_1^2+i_1\in K$, $j_1^2\in K^\times$ et
  $j_1i_1j_1^{-1}=i_1+1$.  Quitte à remplacer $i_1$ par $i_1^2$, on
  peut supposer $i_1^2+i_1\in F$. Alors $F[i_1]$ est une $F$-algèbre
  quadratique étale; elle est contenue dans $\Symd(\sigma)$ car si
  $i_2\in Q_2$ satisfait $\bar{i_2}=i_2+1$, alors
  $i_1=i_1i_2+\sigma(i_1i_2)$. De plus, $A$ est un module à droite (ou
  à gauche) libre sur $F[i_1]$, car l'automorphisme intérieur induit
  par $j_1$ se restreint en l'automorphisme non trivial de $F[i_1]$
  sur $F$. Cela montre que $F[i_1]$ est une sous-algèbre
  \guillemotleft\,nette\,\guillemotright\ de $(A,\sigma)$, dans la
  terminologie de~\cite[section~5]{BGBT1}. Dès lors,
  par~\cite[théorème~6.10]{BGBT1}, on peut plonger 
  $F[i_1]$ dans une $F$-algèbre biquadratique $L$ comme dans la
  section~\ref{sec:orth}, de sorte que $F[i_1]$ soit la sous-algèbre
  fixe sous un élément (disons $\alpha_1$) du groupe de Galois. On a
  aussi $j_1\in\Symd(\sigma)$ car $j_1=j_1i_2+\sigma(j_1i_2)$, et
  comme $j_1i_1=(i_1+1)j_1$ on doit avoir $j_1\in W_2\oplus W_3$, avec
  les notations de la section~\ref{sec:orth}. Comme pour les éléments
  $y$ et $z$ de la première partie de la preuve, on tire
  $j_1^4+\Srp_\sigma(j_1)j_1^2+\Nrp_\sigma(j_1)=0$. Mais $j_1^4\in
  F^\times$ puisque $j_1^2\in K^\times$, donc
  $\Srp_\sigma(j_1)j_1^2\in F$. Si $j_1^2\notin F$, on en déduit
  $\Srp_\sigma(j_1)=0$; mais si $j_1^2\in F$, soit $j_1^2=\lambda\in
  F$, alors $\Prp_{\sigma, j_1}(X)=(X^2-\lambda)^2$ donc on a aussi
  $\Srp_\sigma(j_1)=0$. La restriction de $\Srp_\sigma$ à $W_2\oplus
  W_3$ est donc isotrope; comme cette restriction est une sous-forme
  de $\pi_5$, cela
  entraîne que $\pi_5$ est isotrope, donc hyperbolique puisque c'est
  une forme de Pfister.
\end{proof}

\section{Involutions unitaires et orthogonales}

Dans cette section, $F$ est un corps de caractéristique~$2$. On
désigne par $B$ une algèbre d'Azumaya de degré~$4$ sur une $F$-algèbre
quadratique étale~$Z$ et par $\tau$ une involution unitaire sur $B$
qui fixe~$F$. Soit $\Sym(\tau)\subset B$ le $F$-espace vectoriel des
éléments symétriques sous $\tau$ et $\Srd_\tau$ la restriction de la
\guillemotleft\,seconde trace\guillemotright\ $\Srd_B$ à $\Sym(\tau)$;
c'est une forme quadratique $\Srd_\tau\colon\Sym(\tau)\to F$.

\begin{theo}
  \label{th:unit}
  Il existe une $2$-forme quadratique de Pfister $\pi_2$ et une
  $4$-forme quadratique de Pfister $\pi_4$ déterminées de manière
  unique à isométrie près par la propriété suivante: la classe de
  $\Srd_\tau$ dans le groupe de Witt se décompose comme suit:
  \[
    \Srd_\tau=[1,1]+\pi_2+\pi_4.
  \]
  De plus,
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item\label{theo12_i}
    $\pi_4$ est multiple de $\pi_2$, c'est-à-dire qu'il existe $a_1$,
  $a_2\in F^\times$ tels que
  $\pi_4=\langle1,a_1,a_2,a_1a_2\rangle\pi_2$;
\item\label{theo12_ii}
  la forme $\pi_2$ est hyperbolique si et seulement si l'algèbre
  $B$ se décompose en produit tensoriel d'algèbres de
  quaternions stables sous $\tau$;
\item\label{theo12_iii}
  la forme $\pi_4$ est hyperbolique si et seulement si $\Sym(\tau)$
  contient un élément non central dont le carré est central.
  \end{enumerate}
\end{theo}

La démonstration est en tout point semblable à celle du
théorème~\ref{th:symp}: il suffit d'y remplacer $\Symd(\sigma)$ par
$\Sym(\tau)$, $\Srp_\sigma$ par $\Srd_\tau$ et l'algèbre de
quaternions déployée $Q$ par une $F$-algèbre quadratique étale
déployée. L'existence d'une $F$-algèbre biquadratique étale
$L\subset\Sym(\tau)$ est assurée
par~\cite[théorème~7.4]{BGBT1} et la relation entre compositions d'espaces
quadratiques de dimension~$4$ et $2$-formes quadratiques de Pfister
est explicitée dans~\cite[proposition~3.9]{BT}. D'ailleurs, le cas où le
centre $Z$ est déployé 
(et donc $B\simeq E\times E^{\text{op}}$ pour une $F$-algèbre simple
centrale $E$ de degré~$4$) est déjà traité dans~\cite{T2trace}.
\medbreak

Le cas des involutions orthogonales requiert des ajustements plus
substantiels car les formes quadratiques en jeu sont
singulières. Suivant~\cite[D.3.2]{K}, on dit qu'une forme quadratique
est \emph{totalement singulière} si sa forme polaire est identiquement
nulle. Les formes totalement singulières sont donc les formes
diagonales $b(X,X)$ des formes bilinéaires symétriques $b$. Une forme
totalement singulière est appelée \emph{quasi $k$-forme de Pfister} si
c'est la forme diagonale d'une $k$-forme de Pfister bilinéaire,
voir~\cite[D.11.1]{K}.

Soit $C$ une $F$-algèbre simple centrale de degré~$4$ et $\rho$ une
involution orthogonale sur $C$. Soit encore $\Sym(\rho)$ l'espace des
éléments symétriques sous $\rho$ et $\Srd_\rho\colon \Sym(\rho)\to F$
la restriction de $\Srd_C$ à $\Sym(\rho)$. On sait définir le
déterminant $\det\rho\in F^\times/F^{\times2}$:
voir~\cite[(7.2)]{BoI}. Soit 
$\pi'_1$ la quasi $1$-forme de Pfister diagonale de
$\langle1,\delta\rangle$, où $\delta\in F^\times$ représente
$\det\rho$. 

\begin{theo}
  \label{th:orth}
  La forme quadratique $\Srd_\rho$ se décompose en somme orthogonale
  \[
    \Srd_\rho\simeq[0,0]\perp[1,1]\perp\varphi
  \]
  où $\varphi$ est une forme quadratique totalement singulière de
  dimension~$6$. La forme $\pi'_3=\pi'_1\perp\varphi$ est une
  quasi $3$-forme de Pfister et les formes $\varphi$ et $\pi'_3$ sont
  déterminées de manière unique à isométrie 
  près par $(C,\rho)$. De plus,
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item\label{theo13_i}
    $\pi'_3$ est multiple de $\pi'_1$, c'est-à-dire qu'il existe
    $a_1$, $a_2\in F^\times$ tels que
  $\pi'_3=\langle1,a_1,a_2,a_1a_2\rangle\pi'_1$;
\item\label{theo13_ii}
  la forme $\pi'_1$ est quasi-hyperbolique si et seulement si
  l'algèbre 
  $C$ se décompose en produit tensoriel d'algèbres de
  quaternions stables sous $\rho$;
\item\label{theo13_iii}
  la forme $\pi'_3$ est hyperbolique si et seulement si $\Sym(\rho)$
  contient un élément non central dont le carré est central.
  \end{enumerate}
\end{theo}

\begin{proof}
  Encore une fois, \cite[théorème~7.4]{BGBT3} donne une $F$-algèbre
  biquadratique étale $L\subset\Sym(\rho)$, et les mêmes arguments que
  dans la proposition~\ref{prop:decorth} établissent que
  $\Sym(\rho)=L\stackrel{\perp}{\oplus} W_1 \stackrel{\perp}{\oplus}
  W_2 \stackrel{\perp}{\oplus} W_3$ et que $\Srd_\rho(x)=T_i(x^2)$
  pour $x\in W_i$. À présent, $W_i$ est un module libre de rang~$1$
  sur $L_i$. Lorsque $(C,\rho)$ est isomorphe à $(M_4(F),t)$, où $t$
  est la transposition---ce qui est toujours le cas si $F$ est
  fini---on peut choisir pour $L$ l'algèbre diagonale et retrouver la
  même situation que dans la démonstration de la
  proposition~\ref{prop:decorth}, avec $F$ à la place de $Q$. On voit
  que si $w_i\in W_i$ est de déterminant non nul, alors $W_i=w_iL_i$,
  pour $i=1$, $2$, $3$. Dans le cas général, pour $F$ infini, un
  argument de densité établit l'existence de $w_i\in W_i$ tel que
  $\Nrd_C(w_i)\neq0$, ce qui entraîne encore $W_i=w_iL_i$ pour $i=1$,
  $2$, $3$. Pour le calcul de $\Srd_\rho\rvert_{W_i}$, on peut de plus
  supposer $\Srd_\rho(w_i)\neq0$. Un analogue de la
  proposition~\ref{prop:decorth} donne 
  $\Srd_\rho(w_ix) = T_i(w_i^2x^2)$ pour $x\in L_i$, donc
  $\Srd_\rho\rvert_{W_i}$ est 
  isométrique au transfert suivant $T_i$ de la forme $w_i^2X^2$ sur
  $L_i$. La forme $\Srd_\rho\rvert_{W_i}$ est donc totalement
  singulière; par rapport à la base $w_i$, $w_i(\Srd_\rho(w_i)+w_i^2)$
  de $W_i$ on calcule qu'elle se diagonalise en
  $\langle\Srd_\rho(w_i),\, \Srd_\rho(w_i)N_i(w_i^2)\rangle
  =\langle\Srd_\rho(w_i)\rangle \langle1,\Nrd_{C}(w_i)\rangle$. En 
  examinant le cas où $L$ est déployée on voit que
  $W_i\subset\Symd(\rho)$, donc $\Nrd_C(w_i)$ représente $\det\rho$
  d'après la définition donnée en~\cite[(7.2)]{BoI}. Dès lors,
  \[
    \Srd_\rho\rvert_{W_i}\simeq \langle\Srd_\rho(w_i)\rangle \pi'_1
    \qquad\text{pour $i=1$, $2$, $3$}.
  \]
  Soit $a_i=\Srd_\rho(w_i)$ pour $i=1$, $2$. Comme dans la
  proposition~\ref{prop:compo}, on observe que $w_1w_2+w_2w_1\in W_3$
  et $\Srd_\rho(w_1w_2+w_2w_1)=\Srd_\rho(w_1)\Srd_\rho(w_2)$. Dès
  lors, $\Srd_\rho\rvert_{W_3}$ représente~$a_1a_2$, et
  $\Srd_\rho\rvert_{W_3} \simeq\langle a_1a_2\rangle\pi'_1$. Par
  ailleurs, $\Srd_\rho\rvert_L\simeq[0,0]\perp[1,1]$ comme
  précédemment, donc la décomposition orthogonale de $\Sym(\rho)$
  donne
  \[
    \Srd_\rho\simeq[0,0]\perp[1,1]\perp \langle a_1\rangle \pi'_1
    \perp \langle a_2\rangle \pi'_1 \perp \langle a_1a_2\rangle\pi'_1.
  \]
  On obtient ainsi la décomposition souhaitée, avec $\varphi=\langle
  a_1,a_2,a_1a_2\rangle\pi'_1$ et donc
  $\pi'_3=\langle1,a_1,a_2,a_1a_2\rangle\pi'_1$. La forme $\varphi$
  est déterminée de manière unique, puisque c'est la restriction de
  $\Srd_\rho$ au radical de sa forme polaire. Les énoncés~\ref{theo13_ii} et~\ref{theo13_iii} se démontrent en adaptant le raisonnement des
  propositions~\ref{prop:pi3} et \ref{prop:pi5}.
\end{proof}

L'énoncé~\ref{theo13_ii} a été démontré par d'autres arguments
dans~\cite[proposition~3.7]{KPS}. 


\section*{Déclaration d'intérêts}
L'auteur ne travaille pas, ne conseille pas, ne possède pas de
parts, ne reçoit pas de fonds d'une organisation qui pourrait tirer
profit de cet article, et n'a déclaré aucune autre affiliation que ses
organismes de recherche.

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\end{document}










